Finanzmathematik: Zusammengesetzte Verzinsung

Lektion 3: Zusammengesetzte Verzinsung

1. Berechnung des Endwerts (Kapitalisierung)

Wir betrachten (1 + i)ⁿ als den Kapitalisierungsfaktor (Aufzinsungsfaktor) bei der zusammengesetzten Verzinsung. Dieser wird angewendet, um den Wert eines Kapitals von einem früheren Zeitpunkt auf einen späteren Zeitpunkt zu übertragen.

Demgegenüber ist (1 + i)^-n der Diskontierungsfaktor (Abzinsungsfaktor) bei zusammengesetzter Verzinsung. Er wird verwendet, um den Wert eines Kapitals von einem späteren Zeitpunkt auf einen früheren Zeitpunkt zu übertragen, das heißt, um zeitliche Rückverlegungen des Kapitals vorzunehmen.

2. Berechnung der Zinsen

Unabhängig vom angewandten Kapitalisierungsregime gilt für die aufgelaufenen Zinsen die Grundformel: I_n = C_n - C₀.

Wenden wir die zusammengesetzte Verzinsung an, ergibt sich:

I = C₀ · [(1 + i)ⁿ - 1]

3. Periodenaufteilung des Zinssatzes

Betrachten wir ein Jahr, das in k gleiche Intervalle unterteilt ist, und bezeichnen den Zinssatz für jede k-te Periode mit i_k. Die Beziehung zwischen Zeitintervall und Periodenzinssatz, die bereits bei der einfachen Verzinsung gilt, muss auch bei der zusammengesetzten Verzinsung beachtet werden.

Wird der Periodenzinssatz i_k zugrunde gelegt und beträgt die Investitionsdauer n Jahre, müssen wir die Laufzeit in k-Perioden ausdrücken. Die Gesamtzahl der Zinsperioden beträgt somit n · k:

C_n = C₀ · (1 + i_k)^{n · k}

4. Nominalzinssatz j_k

Der Nominalzinssatz j_k für eine k-fache unterjährige Verzinsung ergibt sich aus der Multiplikation des Periodenzinssatzes i_k mit der Periodenanzahl k (j_k = k · i_k). Er wird als Nominalzins bezeichnet, weil er als Bezugsgröße zur Festlegung des Zinssatzes i_k dient.

j_k kann austauschbar als Nominalzinssatz formuliert werden, der k-mal im Jahr konvertierbar, kumulierbar oder fällig ist.

Ausgehend von j_k = k · i_k stimmen nur bei k = 1 der Nominalzinssatz und der effektive Jahreszinssatz überein. Für k > 1 weichen die Werte von i und j_k voneinander ab.

5. Finanzielle Äquivalenz von Kapitalwerten

Zwei Kapitalbeträge mit unterschiedlicher Höhe und unterschiedlichen Fälligkeiten gelten zu einem bestimmten Bewertungszeitpunkt als finanzäquivalent, wenn ihr rechnerischer Wert in diesem gemeinsamen Bezugspunkt identisch ist.

Um dies bei der zusammengesetzten Verzinsung zu berechnen, wenden wir den Faktor (1 + i)^p an, wobei p der Zeitdifferenz zwischen dem Fälligkeitszeitpunkt des jeweiligen Kapitals und dem gewünschten Bewertungszeitpunkt entspricht.

6. Anwendungen der Zinseszinsrechnung

6.1. Tilgung von Darlehen und Krediten

Das finanzielle Gleichgewicht eines Darlehens erfordert stets:

Darlehenswert = Barwert aller Tilgungs- und Annuitätenzahlungen, bewertet zum Zinssatz i.

6.2. Kapitalaufbau (Sparen)

Hierbei handelt es sich um eine Sparoperation, bei der kontinuierliche Einzahlungen auf ein Konto geleistet werden, um nach Ablauf der Laufzeit über ein gebildetes Endkapital zu verfügen.

Der Endwert des aufgebauten Kapitals entspricht der Summe aller Einlagen inklusive deren Verzinsung:

C_gebildet = ∑ Endwerte der Einzahlungen, aufgezinst mit Zinssatz i zum Endzeitpunkt n.

6.3. Berechnung des Effektivzinses (TAE / TAEC)

a) Nominalzins und äquivalenter Effektivzins (TAE):
Bei Finanztransaktionen, die mit einem Nominalzins j_k bei k-periodiger unterjähriger Zahlungsweise vereinbart werden, entspricht der Effektivzins (TAE) dem äquivalenten effektiven Jahreszinssatz.

b) Effektiver jährlicher Gesamtkostensatz (TAEC):
Bei Aktivgeschäften der Banken (wie z. B. Krediten an Privatpersonen, Unternehmen oder Immobilienfinanzierungen) fordert das Kreditinstitut nicht nur die Rückzahlung von Darlehenskapital und Kreditzinsen. In der Praxis fallen häufig weitere Nebenkosten an, die in die Gesamtkostenrechnung einfließen, darunter:

• Bearbeitungs- und Prüfungsgebühren (Comisión de estudio)
• Eröffnungs- und Bereitstellungsgebühren (Comisión de apertura)
• Sonstige Verwaltungs- und Transaktionskosten