Grundlagen der Mengenlehre, Relationen und Funktionen

Kartesisches Produkt und Relationen

Kartesisches Produkt: Gegeben seien zwei Mengen A und B. Als kartesisches Produkt von A und B (bezeichnet als A × B) bezeichnet man die Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente zu A und deren zweite Komponente zu B gehört.

Beispiel: Wenn A = {0, 2, 3} und B = {4, 5}, dann ist A × B = {(0,4), (0,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}.

Relationen zwischen zwei Mengen

Gegeben seien zwei Mengen A und B. Eine Relation R von A nach B (notiert als R: A → B) ist eine Teilmenge von A × B.

Beispiel: R = {(2,4), (2,5)}.

Definitionsbereich einer Relation

Sei R: A → B eine Relation. Als Definitionsbereich von R (bezeichnet als D(R)) nennen wir die Menge aller Elemente x ∈ A, die mindestens ein Bild besitzen, d. h. D(R) = {2} im obigen Beispiel.

Wertebereich einer Relation

Sei R: A → B eine Relation. Als Wertebereich (oder Bildbereich) von R (bezeichnet als Rec(R)) bezeichnen wir die Menge aller Elemente y ∈ B, die mindestens ein Urbild besitzen.

Funktionen

Gegeben sei eine Relation f: A → B. Wir sagen, dass f eine Funktion ist, wenn jedes Element aus A genau ein einziges Bild in B besitzt. Symbolisch: f ist eine Funktion genau dann, wenn...

• Injektivität: Verschiedene Elemente haben verschiedene Bilder (f ist injektiv).
• Surjektivität: f ist surjektiv genau dann, wenn jedes Element aus B mindestens ein Urbild besitzt.
• Bijektivität: f ist bijektiv genau dann, wenn sie gleichzeitig injektiv und surjektiv ist.

Intervalle

Beschränkte Intervalle

Gegeben seien zwei Zahlen a und b mit a < b:

1. Offenes Intervall: Bezeichnet als (a, b), wenn die Endpunkte nicht zum Intervall gehören.
2. Abgeschlossenes Intervall: Bezeichnet als [a, b], wenn die Endpunkte a und b zum Intervall gehören.
3. Halboffene Intervalle: Wenn ein Endpunkt nicht zum Intervall gehört, bezeichnet als [a, b) oder (a, b].

Unbeschränkte Intervalle

Wir nennen ein Intervall:

1. Offen: Wenn der Endpunkt nicht zum Intervall gehört, z. B. (a, +∞) oder (-∞, a).
2. Abgeschlossen: Wenn der Endpunkt zum Intervall gehört, z. B. [a, +∞) = {x &in; &reals; | x ≥ a} oder (-∞, a] = {x &in; &reals; | x ≤ a}.

Eigenschaften von Funktionen

Einschränkung einer Funktion

Gegeben sei die Funktion f: A → B und eine Funktion f^*_X: X → B. Wir sagen, dass f^*_X eine Einschränkung von f ist, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. X ist eine echte Teilmenge von A (X ⊂ A).
2. Für alle x &in; X gilt: f(x) = f^*_X(x).

Gleichheit von Funktionen

Gegeben seien die Funktionen f: X → Y und g: A → B. Die beiden Funktionen sind gleich (bezeichnet als f = g), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. X = A
2. Y = B
3. f(x) = g(x) für alle x &in; X.

Umkehrfunktion (Inverse Funktion)

Gegeben sei eine bijektive Funktion f: A → B. Die Umkehrfunktion von f (bezeichnet als f^-1) ist die Funktion f^-1: B → A, für die gilt: f^-1(y) = x ↔ f(x) = y.