Abstand zwischen Punkt und Gerade: Formeln und Herleitung

Abstand zwischen zwei Punkten

Im Planimetrie-Kontext gilt: Sind P₁(x₁, y₁) und P₂(x₂, y₂) zwei Punkte der euklidischen Ebene, so berechnet sich ihre Entfernung als Betrag des Verbindungsvektors:

d(P₁, P₂) = |p⃗₁p⃗₂| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Winkel zwischen zwei Geraden

Für zwei Geraden r₁ und r₂ mit den Gleichungen y = m₁x + b₁ und y = m₂x + b₂ gilt für den Schnittwinkel φ mit den Neigungswinkeln α₁ und α₂:

tan(φ) = tan(α₂ − α₁) = (tanα₂ − tanα₁) / (1 + tanα₂ · tanα₁) = (m₂ − m₁) / (1 + m₁ · m₂)

Parallelität

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind: m₁ = m₂. Der Winkel zwischen ihnen beträgt dann 0.

Orthogonalität

Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn m₁ · m₂ = −1 gilt, also m₂ = −1/m₁. Der Schnittwinkel beträgt dann 90°.

Hessesche Normalform der Geradengleichung

Eine Gerade lässt sich in der Form x cosω + y sinω − p = 0 darstellen, wobei p der Abstand der Geraden vom Ursprung und ω der Winkel des Normalenvektors ist. Die Länge des Normalenvektors ist dabei auf 1 normiert.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Für einen Punkt P₀(x₀, y₀) und die Gerade x cosω + y sinω − p = 0 ergibt sich der Abstand als:

d = |x₀ cosω + y₀ sinω − p|

Ist die Geradengleichung allgemein in der Form Ax + By + C = 0 gegeben, gilt:

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Das Vorzeichen des Ausdrucks gibt dabei an, auf welcher Seite der Geraden der Punkt liegt.