Grundlagen der Wechselstromtechnik: Übungen und Lösungen

1. Erklärung von Effektivwerten bei Wechselstrom

Der RMS-Wert (Effektivwert) einer Wechselspannung oder eines Wechselstroms ist der Wert, der in Bezug auf die Heizleistung einem Gleichstrom äquivalent ist. Bei der Berechnung von Wechselstromkreisen werden diese Effektivwerte verwendet, um sie mit Gleichstromberechnungen vergleichbar zu machen.

Da der Momentanwert von Strom und Spannung bei Wechselgrößen ständig variiert, nutzt man Effektivwerte, um handhabbare Größen für Berechnungen zu erhalten. Wenn wir beispielsweise von einer Netzspannung von 230V sprechen, beziehen wir uns immer auf den Effektivwert.

2. Berechnung bei gegebener Wechselspannung

Die Momentaufnahme einer Wechselspannung ist gegeben durch den Ausdruck E(t) = 200 · sin(314 · t). Berechnen Sie:

Da E(t) = e = Emax · sin(ω · t)

a. Die maximale EMK

b. Kreisfrequenz

ω = 314 rad/s

c. Periodendauer

d. Frequenz

f = 1 / T = 50 Hz

3. Wechselstromkreis mit 50 Hz und 10 A

Eine Wechselstromquelle hat eine Frequenz von 50 Hz und eine maximale Stromstärke von 10 A. Berechnen Sie:

a. Kreisfrequenz

b. Periodendauer

T = 1 / f

c. Momentanwert

I(t) = i = 10 · sin(314 · t)

d. Mittelwert

Der durchschnittliche Wert einer kompletten Sinusschwingung ist gleich Null. Der Mittelwert der Halbwelle einer Sinuskurve beträgt:

Imed = 2 / π · Imax = 2 / π · 10 = 6,37 A

4. Analyse der Sinusfunktion I(t) = 5 · sin(314 · t)

a. Frequenz

f = ω / (2 · π) = 314 / (2 · π) = 50 Hz

b. Periodendauer

T = 1 / f = 0,02 s

c. Maximale und effektive Stromstärke

Da i(t) = Imax · sin(ω · t)

Imax = 5 A

= 3,54 A

d. Momentanwert bei t = 0,005 s und 150°

Für t = 0,005 s:

I(t) = Imax · sin(ω · t) = 5 · sin(314 · 0,005) = 5 A

Für Winkel = 150°:

I(t) = Imax · sin(150°) = 2,5 A

5. Messungen bei 50 Hz und 250 V

a. Maximalwert der Spannung

b. Kreisfrequenz

v(t) = Vmax · sin(ω · t) = 354 · sin(314 · t)

c. Momentanspannung bei 0,005 s

V(t) = Vmax · sin(ω · t) = 354 · sin(314 · 0,005) = 354 V

6. Phasenwinkel in induktiven und kapazitiven Kreisen

Der Phasenwinkel in einem induktiven Stromkreis ist positiv, in einem kapazitiven Stromkreis negativ.

In einem induktiven Stromkreis eilt der Strom der Spannung nach. Das bedeutet, dass die Phase der Spannung immer größer ist als die des Stroms.

7. Verhalten in einem kapazitiven Stromkreis

In der ersten und dritten Viertelperiode des Ladevorgangs nimmt der Strom aufgrund der steigenden Kondensatorspannung ab.

In der zweiten und vierten Viertelperiode (Entladevorgang) nimmt der Strombetrag zu, während die Kondensatorspannung abnimmt.

8. Widerstand von 1000 Ω an 220 V / 50 Hz

I = V / R = 220 / 1000 = 0,22 A

i = Imax · sin(ω · t) = 0,311 · sin(314 · t)

Zeigerdiagramm

I_vektor = V_vektor / Z = 220∠0° / 1000∠0° (A)

9. Spule (100 mH) an 125 V / 70 Hz

a. Induktiver Blindwiderstand

XL = 2 · π · f · L = 2 · π · 70 · 0,1 = 44 Ω

b. Effektive und maximale Stromstärke

I = V / XL = 125 / 44 = 2,84 A

c. Momentanwertausdruck

i = Imax · sin(ω · t - π/2) = 4,02 · sin(440 · t - π/2)

d. Zeigerdiagramm

I_vektor = 2,84∠-90° (A)

10. Kondensator (20 µF) an 380 V / 50 Hz

a. Kapazitiver Blindwiderstand

Xc = 1 / (2 · π · f · C) = 1 / (2 · π · 50 · 20 · 10^-6) = 159 Ω

b. Effektive und maximale Stromstärke

I = V / Xc = 380 / 159 = 2,39 A

c. Momentanstrom

i = Imax · sin(ω · t + π/2) = 3,38 · sin(314 · t + π/2)

d. Zeigerdiagramm

I_vektor = 380∠0° / 159∠-90° (A)