Analytische Geometrie: Vektoren, Geraden und Gleichungen im R²

Vektoren und Koordinaten im R²

Ein Koordinatensystem im Raum R² besteht aus einem festen Punkt O (Ursprung) und einer Basis (u, v) des V2R. Ist die Basis orthogonal, spricht man von einem orthogonalen Koordinatensystem.

Die Koordinaten eines Punktes P in der Ebene sind eindeutig bestimmt: Jedem Punkt P entspricht genau ein Vektor OP, und die Koordinaten (x, y) sind die Komponenten dieses Vektors bezüglich der Basis.

Vektor zwischen zwei Punkten

Sind A(x_A, y_A) und B(x_B, y_B) zwei Punkte, so gilt für den Vektor AB:

AB = (x_B − x_A, y_B − y_A)

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt M der Strecke AB berechnet sich aus:

M = ((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2)

Geraden in der Ebene

Parameterdarstellung

Eine Gerade r ist durch einen Punkt P₁(x₁, y₁) und einen Richtungsvektor v = (v₁, v₂) bestimmt. Die Vektorgleichung lautet:

x = x₁ + t·v

bzw. in Koordinaten:

x = x₁ + t·v₁, y = y₁ + t·v₂, mit t ∈ R

Kartesische Gleichung (Normalform)

Durch Elimination des Parameters t ergibt sich die Gleichung:

(x − x₁)/v₁ = (y − y₁)/v₂

Umgeformt erhält man die allgemeine Geradengleichung:

ax + by + c = 0

Steigung und Neigungswinkel

Der Neigungswinkel α einer Geraden ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Geraden, mit 0° ≤ α < 180°.

Die Steigung m ist definiert als:

m = tan(α) = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

Für Punkte P₁, P₂ und P₃ auf einer gemeinsamen Geraden gilt dieselbe Steigung.

Explizite Form

Aus der Steigung ergibt sich die explizite Form:

y = mx + b

Dabei ist b der y-Achsenabschnitt, also der Schnittpunkt mit der y-Achse B(0, b).

Parallele Geraden

• Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind: m₁ = m₂.
• Eine Gerade parallel zur x-Achse hat die Steigung m = 0 und die Gleichung y = b.
• Eine Gerade parallel zur y-Achse hat keine Steigung und die Gleichung x = k.

Achsenabschnittsform

Schneidet eine Gerade die Achsen in A(a, 0) und B(0, b), so gilt:

x/a + y/b = 1

Gerade durch zwei Punkte

Die Gleichung der Geraden durch P₁(x₁, y₁) und P₂(x₂, y₂) lautet:

(x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁)

Parallele und zusammenfallende Geraden

Zwei Geraden a₁x + b₁y + c₁ = 0 und a₂x + b₂y + c₂ = 0 sind:

• parallel, wenn a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
• zusammenfallend (identisch), wenn a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂