Finanzmathematik: 10 Übungsaufgaben mit Lösungen

Wirtschaft12 Feb. 2026Aktualisiert am 7 Nov. 20266,14 KB

Zusammenfassung

Diese Übungssammlung behandelt Aufgaben aus der Finanzmathematik und Investitionsrechnung, darunter Renditeberechnungen für Aktien und Anleihen, Abzinsung eines Commercial Papers, Sparpläne, Autofinanzierung und Altersvorsorge. Jede Aufgabe enthält Multiple-Choice-Optionen und einen Lösungsweg. Lernende üben so Zinseszins, Renten, interne Zinsfüße und kontinuierliche Verzinsung.

Kernpunkte

Der Zinseszins wird über i = (Endwert / Anfangswert)^(1/n) - 1 ermittelt, wenn Zeiträume in Jahren angegeben sind.
Beim Commercial Paper erfolgt die Abzinsung nach der Methode Act/360: Wert = Nennwert * (1 - Zinssatz * Tage / 360).
Der Endwert einer nachschüssigen jährlichen Rente berechnet sich über FV = Rate * ((1 + i)^n - 1) / i.
Der Barwert einer nachschüssigen Rente ergibt sich aus PV = Rate * (1 - (1 + i)^-n) / i.
Die kontinuierliche Verzinsung wird über den Faktor exp(i * t) berechnet; eine monatliche Rate von 1 % entspricht etwa 11,9404 % kontinuierlich pro Jahr.
Eine Investition ist vorteilhaft, wenn der Barwert der Rückflüsse über den Anschaffungskosten liegt.

Stellen Sie sich auf die Probe

Übungen zur Finanzmathematik und Investitionsrechnung

1. Jährliche Rendite einer Aktieninvestition

Telefónica-Aktien wurden Ende letzten Jahres für 15,85 Euro gekauft. Heute, zweieinhalb Monate später, liegt der Kurs bei 14,14 Euro. Wie hoch ist der jährliche Prozentsatz (Rendite) dieser Investition?

a) -10,79 %
b) -2,35 %
c) -42,19 %
d) -51,79 %

Lösungsweg: Wir müssen die Werte in die Formel für den Zinseszins einsetzen und die Zeit in Jahren ausdrücken:
14,14 = 15,85 * (1 + i) ^ (2,5 / 12).
Daraus ergibt sich: i = (14,14 / 15,85) ^ (12 / 2,5) - 1 = -0,42188.

2. Abzinsung eines Commercial Papers

Ein Commercial Paper mit einer Fälligkeit in 175 Tagen und einem Nennwert von 1.500 Euro wird mit 3,5 % abgezinst. Welcher Wert gilt heute?

a) 1474,828767
b) 1474,479167
c) 1474,906111
d) 982,9861111

Lösungsweg: Der Abschlag auf den Verkehrswert erfolgt nach der Methode Act/360.
Abgezinst Werter = 1.500 * (1 - 3,5 % * 175 / 360) = 1474,479.

3. Sparplan für einen Zielbetrag

Wir möchten in 10 Jahren einen Gesamtbetrag von 150.000 Euro ansparen. Dafür nutzen wir einen Sparplan, der 3 % Zinsen auf einen festen Betrag bietet, der am Ende eines jeden Jahres eingezahlt wird. Dieser Betrag beläuft sich auf:

a) 12.703,47
b) 17.584,58
c) 13.084,58
d) 15.000,00

Lösungsweg: Wir wenden die Formel für den Endwert einer nachschüssigen jährlichen Rente an:
FV = PV * (1 + i)^n = Rate * ((1 + i)^n - 1) / i.
Somit gilt: Rate = FV / (((1 + i)^n - 1) / i) = 150.000 / (((1 + 0,03)^10 - 1) / 0,03) = 13.084,58.

4. Verzinsung mit unterschiedlichen Perioden

Wir tätigen eine jährliche Einzahlung, die für die ersten 4 Monate mit 5 % effektivem Jahreszins verzinst wird und für den Rest der Zeit mit 3 % effektivem Jahreszins. Am Ende des Jahres erhalten wir 1.200 Euro. Wie hoch war die Einzahlung?

a) 1243,948772
b) 1243,557201
c) 1244
d) 1251,948662

Lösungsweg: Wir müssen die Kapitalisierung über zwei aufeinanderfolgende Zeiträume anwenden:
Endwert = Einzahlung * (1 + 5 %) ^ (4 / 12) * (1 + 3 %) ^ (8 / 12) = 1243,949.

5. Finanzierung eines Autokaufs

Wir kaufen ein Auto für 25.000 Euro und finanzieren es über 5 Jahre bei einem effektiven Jahreszins von 7 %. Die Raten werden monatlich am Ende eines jeden Monats gezahlt. Die Gebühren für dieses Darlehen betragen:

a) 6097,27
b) 492,50
c) 351,14
d) 497,74

Lösungsweg: Zuerst berechnen wir den monatlichen Zinssatz aus dem effektiven Jahreszins:
i (monatlich) = (1 + 0,07) ^ (1 / 12) - 1 = 0,005654 (ca. 0,5654 %).
Anschließend wenden wir die Formel für den Barwert einer nachschüssigen Rente an:
PV = Rate * (1 - (1 + i)^-n) / i.
Daraus folgt: Rate = 25.000 / ((1 - (1 + 0,005654)^-60) / 0,005654) = 492,4956.

6. Renditeberechnung einer Anleihe

Wir haben eine Anleihe mit 100 Euro Nennwert und einem Kupon von 5 % bei einer Laufzeit von 4 Jahren. Wenn der aktuelle Preis 102 Euro beträgt, wie hoch ist die Rendite?

a) 5 %
b) 4,6739 %
c) Die Berechnung ist mit den Daten nicht möglich
d) 4,4432 %

Lösungsweg: Das zu lösende Cashflow-Schema ist: -102, 5, 5, 5, 105. Dies kann über den internen Zinsfuß (IRR) berechnet werden: FV = 100, PV = -102, PMT = 5, n = 4. Das Ergebnis beträgt 4,4432 %.

7. Durchschnittliche Rendite eines Investmentfonds

Ein Investmentfonds erzielte im Jahr 2008 folgende durchschnittliche Renditen: monatlich diskret = 0,75 %, monatlich kontinuierlich = 0,67 %. Wenn wir 1.500 Euro investieren, wie viel besitzen wir am Ende des Jahres?

a) 1620,60
b) 1625,58
c) 1640,71
d) 1635

Lösungsweg: Nur mit der kontinuierlichen Log-Rendite können wir den Endwert korrekt berechnen. Bei einem monatlichen Durchschnitt von 0,67 % beträgt die jährliche kontinuierliche Rendite 12 * 0,67 % = 8,04 %.
Endwert = 1.500 * exp(0,0804) = 1625,581.

8. Mindestrendite für eine Altersvorsorge

Wenn wir zu Beginn eines jeden Jahres 10.000 Euro über 20 Jahre in eine Vorsorge einzahlen, welche minimale jährliche Rendite ist erforderlich, um einen Endbetrag von 300.000 Euro zu erreichen?

a) 4,07151 %
b) 3,71888 %
c) 3,91222 %
d) Ein negativer Wert

Lösungsweg: Hier wird nach dem Zinssatz gesucht. Mit einem Finanzrechner: FV = 300.000, Rentenbeginn (vorschüssig), PV = 0, PMT = 10.000, n = 20. Dies ergibt ein i = 4,0715 %.

9. Bewertung eines Investitionsprodukts

Ein Produkt zahlt uns über vier Jahre jeweils 30, 40, 50 und 60 Euro am Ende jedes Jahres sowie am Ende zusätzlich 1.000 Euro zurück. Die Anschaffungskosten betragen 1.000 Euro. Wenn der Marktzins bei 4 % liegt:

a) Investiere ich in das Produkt
b) Investiere ich nicht in das Produkt
c) Kann ich keine Antwort geben
d) Brauche ich den Wert des Gutscheins nicht

Lösungsweg: Das Produkt zahlt 30, 40, 50 und 1.060 Euro. Abgezinst zu 4 % ergibt sich:
30 / (1,04) + 40 / (1,04)^2 + 50 / (1,04)^3 + 1.060 / (1,04)^4 = 1016,371 Euro.
Da der Barwert über den Kosten von 1.000 Euro liegt, ist die Investition vorteilhaft.

10. Kontinuierlicher vs. monatlicher Zinssatz

Gesucht ist der kontinuierliche jährliche Zinssatz, der einer monatlichen Verzinsung von 1 % entspricht.

a) 11,9404 %
b) 11,3328 %
c) 12,6825 %
d) 0,99503 %

Lösungsweg: Eine monatliche Rate von 1 % macht aus 100 Euro in einem Monat 101 Euro. In die Formel für kontinuierliche Verzinsung eingesetzt:
101 = 100 * exp(i / 12).
Daraus folgt: i = 12 * ln(101 / 100) = 0,119404 bzw. 11,9404 %.

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Häufige Fragen

Wie berechnet man den Barwert einer Rente?

Der Barwert einer nachschüssigen Rente ergibt sich aus PV = Rate * (1 - (1 + i)^-n) / i. Dabei ist i der Zinssatz pro Periode und n die Anzahl der Perioden. Im Beispiel der Autofinanzierung wird so die monatliche Rate bestimmt.

Wie rechnet man einen effektiven Jahreszins in einen monatlichen Zins um?

Der monatliche Zinssatz ergibt sich aus i (monatlich) = (1 + i_effektiv)^(1/12) - 1. Bei einem effektiven Jahreszins von 7 % ergibt sich so etwa 0,5654 % pro Monat.

Wie berechnet man den kontinuierlichen Zinssatz aus einem monatlichen Zins?

Man setzt den Endwert nach einem Jahr gleich Anfangswert * exp(i * 1) und löst nach i auf, also i = 12 * ln(1 + monatlicher Zins). Bei 1 % pro Monat ergibt sich so ein kontinuierlicher Jahreszins von 11,9404 %.