Kurvendiskussion und Lagebeziehungen im Raum: Geraden und Ebenen
Kurvendiskussion: Verhalten von Funktionen
f, f´ und f´´ beschreiben das Verhalten einer Funktion.
monoton steigend: positiver Bereich
keine Aussage möglich
monoton fallend: negativer Bereich
HP (Rechtskurve): 0 + _ - (großer 0)
WP (Rechts-Links): TP
Nullstellen von - zu +
WP (Links-Rechts): HP
Nullstellen von + zu -
Sattelpunkt: 0 Berührpunkt 0
TP (Linkskurve): 0 - _ + (großer 0)
Lagebeziehungen im Raum
Lagebeziehung Gerade – Gerade
1. Prüfen, ob die Richtungsvektoren (RV) linear abhängig sind.
Dann gleiches Ergebnis: parallel oder gleich.
Dazu einen Punkt einer Geraden nehmen und in die andere gleichsetzen, z.B. 2 = 3X + 6.
Ist t verschieden, sind die Geraden parallel, sonst gleich.
Sind die RV linear unabhängig: windschief oder schneiden sich.
Die Geraden gleichsetzen (g = t), die Unbekannten bestimmen und in die letzte Gleichung einsetzen.
Ergibt sich z.B. 1 = 1, schneiden sich die Geraden.
Ergibt sich ein Widerspruch, sind sie windschief.
Zum Berechnen des Schnittpunkts (SP) eine der Unbekannten in eine der Geraden einsetzen.
Lagebeziehung Gerade – Ebene
Prüfen, ob der RV und der Normalenvektor (NV) senkrecht (90 Grad) zueinander stehen. Dazu das Skalarprodukt bilden.
1. Ist das Ergebnis 0: gleich oder parallel.
Einen Punkt der Geraden wählen und prüfen, ob er in der Ebene liegt, indem man x1, x2 und x3 der Ebene einsetzt. Ergibt sich 1 = 1, ist die Gerade in der Ebene (gleich), sonst parallel.
2. Ist das Ergebnis nicht 0: schneiden sich.
Zum Berechnen des SP die Gerade in die Ebene einsetzen, z.B. x1 = 1 + 2t, x2 = 2 + 8t, x3 = 3 + t.
Nach t auflösen und t in die Gerade einsetzen, um den SP zu erhalten.
Lagebeziehung Ebene – Ebene
1. Prüfen, ob die Normalenvektoren (NV) linear abhängig sind oder nicht.
Sind sie linear abhängig: parallel oder gleich.
Einen Punkt einer Ebene nehmen und prüfen, ob er in der anderen Ebene liegt: Dazu zwei Koordinaten frei wählen, die dritte berechnen und den Punkt in die andere Ebene einsetzen. Dann prüfen, ob die Ebenen gleich oder parallel sind.
Sind sie nicht linear abhängig: schneiden sich.
Der Unbekannten x2 den Parameter t zuweisen (in beiden Ebenen) und die übrigen beiden Unbekannten bestimmen, wobei t wie eine Zahl behandelt wird.
Aus den Ergebnissen eine Gerade bilden.