Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im Raum: Vektorrechnung

Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen im Raum

Im Folgenden werden die wichtigsten Konstruktionen mit Ebenen, Geraden und Normalenvektoren beschrieben.

Ebene durch einen Punkt, parallel oder senkrecht

• Ebene, die eine Gerade in einem Punkt schneidet: Es muss ein Vektor bestimmt werden, der die Ebene und die Gerade schneidet.
• Ebene parallel zu einer Ebene und senkrecht zu einer Geraden: Man verwendet den Normalenvektor der gegebenen Ebene als Normalenvektor der neuen Ebene.
• Ebene senkrecht zu einer Ebene und parallel zu einer Geraden: Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist das Kreuzprodukt aus dem Normalenvektor der gegebenen Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden.
• Ebene durch einen Punkt $(x_0, y_0, z_0)$, senkrecht zu zwei weiteren Ebenen: Der Normalenvektor $\vec{n}_3$ ist das Kreuzprodukt $\vec{n}_3 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$. Die Gleichung lautet $n_{3x}(x-x_0)+n_{3y}(y-y_0)+n_{3z}(z-z_0)=0$.

Gerade durch einen Punkt, parallel zu zwei Ebenen

• Gerade durch einen Punkt, parallel zu zwei Ebenen: Der Richtungsvektor ist $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.
• Gerade durch einen Punkt, parallel zu einer Ebene und senkrecht zu einer anderen Geraden: Der Richtungsvektor ergibt sich als $\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{v}_s$.
• Gerade durch einen Punkt, senkrecht zu einer Ebene und zu einer Geraden: Der Richtungsvektor ergibt sich als $\vec{w} = \vec{n} \times \vec{v}$.

Gerade senkrecht zu zwei Geraden

Eine Gerade $r$, die senkrecht zu zwei Geraden steht, lässt sich als Schnitt zweier Ebenen ausdrücken: Die Gerade $r$ liegt in einer Ebene, die $r$ und den Richtungsvektor $\vec{v}$ von $r$ enthält, sowie in einer Ebene, die $r$ und den Richtungsvektor $\vec{v}_s$ enthält.

Gerade senkrecht zu einer Ebene und zu einer anderen Geraden

Zu einer gegebenen Geraden $r$ mit Richtungsvektor $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ wird ein Vektor $\vec{v}$ gesucht, der orthogonal zu $\vec{u}$ ist. Dies führt zur Bedingung:

$u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=0$

Relative Lage von zwei Geraden

• Geraden durch einen Punkt und einen Richtungsvektor: Die Geraden sind durch Punkte $(x_1,y_1,z_1)$, $(x_2,y_2,z_2)$ und Richtungsvektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ bestimmt. Ist $\mathrm{rang}=3$, sind die Geraden windschief. Ist $\mathrm{rang}=2$, sind sie parallel, identisch oder schneiden sich.
• Zwei Geraden in impliziter Form: Man bildet die Matrizen $A$ und $A'$. Dann gilt: $\mathrm{rang}A=4$ (windschief); $\mathrm{rang}A=3=\mathrm{rang}A'$ (schneidend); $\mathrm{rang}A=3\neq\mathrm{rang}A'$ (windschief); $\mathrm{rang}A=2\neq\mathrm{rang}A'=3$ (parallel); $\mathrm{rang}A=2=\mathrm{rang}A'=2$ (identisch).

Relative Lage von Gerade und Ebene

• Gerade und Ebene: Die Gerade ist durch $x=x_0+u_1t$, $y=y_0+u_2t$, $z=z_0+u_3t$ gegeben, die Ebene durch $ax+by+cz+d=0$. Setzt man die Geradengleichung ein, ergibt sich $a(x_0+u_1t)+b(y_0+u_2t)+c(z_0+u_3t)+d=0$. Ist dies für alle $t$ erfüllt, liegt die Gerade in der Ebene. Ist $ax_0+by_0+cz_0+d=0$ nicht erfüllt, sind Gerade und Ebene parallel.
• Gerade und Ebenen als Schnittmenge: Eine Gerade als Schnitt zweier Ebenen $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$ und $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$ mit einer dritten Ebene $a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0$ ergibt: $\mathrm{rang}A=3=\mathrm{rang}A'$ (ein Schnittpunkt, bestimmtes System); $\mathrm{rang}A=2=\mathrm{rang}A'=3$ (inkompatibel, parallel); $\mathrm{rang}A=2=\mathrm{rang}A'=2$ (kompatibel, unbestimmt, Gerade liegt in der Ebene).

Relative Lage von drei Ebenen

Drei Ebenen $a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0$, $a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0$, $a_3x+b_3y+c_3z+d_3=0$ bilden:

• $\mathrm{rang}A=3=\mathrm{rang}A'$: ein Punkt als Schnitt, bestimmtes kompatibles System (Dreibein).
• $\mathrm{rang}A=2\neq\mathrm{rang}A'=3$: inkompatibel. Die Ebenen bilden eine dreiseitige Prismenfläche, oder zwei Ebenen sind parallel und die dritte schneidet beide.
• $\mathrm{rang}A=2=\mathrm{rang}A'$: kompatibel, unbestimmt. Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden.
• $\mathrm{rang}A=1\neq\mathrm{rang}A'=2$: inkompatibel. Die drei Ebenen sind parallel.
• $\mathrm{rang}A=1=\mathrm{rang}A'$: kompatibel, unbestimmt. Die Ebenen fallen zusammen.