Laplace-Transformation: Grundlagen, Eigenschaften und Anwendungen in elektrischen Netzwerken
Laplace-Transformation: Grundlagen und Anwendungen
Definition der Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformierte F(s) einer Originalfunktion f(t) ist definiert als:
F(s) = ∫0∞ f(t) e-st dt = L[f(t)]
Die Funktion f(t) muss dabei folgende Bedingungen erfüllen: Für t < 0 gilt f(t) = 0, und f(t) ist stückweise stetig sowie von exponentieller Ordnung, d.h. |f(t)| < M·eat.
Grundlegende Eigenschaften und Sätze
Linearität
Die Laplace-Transformation ist linear: L[a·f(t) + b·g(t)] = a·F(s) + b·G(s).
Ähnlichkeitssatz
Für a > 0 gilt: L[f(at)] = (1/a)·F(s/a).
Verschiebungssatz (Zeitverschiebung)
Ist f(t) kausal, so gilt: L[f(t − T)·σ(t − T)] = e-sT·F(s).
Dämpfungssatz (Frequenzverschiebung)
L[e-at·f(t)] = F(s + a).
Faltungssatz
L[f(t) * g(t)] = F(s)·G(s), wobei * die Faltung bezeichnet.
Differentiationssatz
L[f'(t)] = s·F(s) − f(0+).
Integrationssatz
L[∫0t f(τ) dτ] = F(s)/s.
Anfangs- und Endwertsatz
Anfangswertsatz: limt→0+ f(t) = lims→∞ s·F(s).
Endwertsatz: limt→∞ f(t) = lims→0 s·F(s), sofern alle Pole von s·F(s) in der linken Halbebene liegen.
Wichtige Laplace-Transformierte
- Heaviside-Funktion (Sprungfunktion): L[σ(t)] = 1/s
- Dirac-Impuls: L[δ(t)] = 1
- Exponentialfunktion: L[e-at] = 1/(s + a)
Anwendung in elektrischen Netzwerken
Im Bildbereich lassen sich die Netzwerkgleichungen algebraisieren. Für ein Bauelement gilt:
- Widerstand: U(s) = R·I(s)
- Spule: U(s) = sL·I(s) − L·i(0+)
- Kondensator: I(s) = sC·U(s) − C·u(0+)
Maschenstromanalyse im Bildbereich
Die Maschenstromgleichungen lassen sich in Matrixform darstellen:
[Z(s)]·[J(s)] = [V_G(s)]
Dabei ist [Z(s)] die Impedanzmatrix der Maschen, [J(s)] der Vektor der Maschenströme und [V_G(s)] der Vektor der Ersatzspannungsquellen.
Knotenspannungsanalyse im Bildbereich
[Y_n(s)]·[V(s)] = [J_G(s)]
Dabei ist [Y_n(s)] = [Q]·[Y(s)]·[Q]T die Knotenadmittanzmatrix, [V(s)] der Vektor der Knotenspannungen und [J_G(s)] der Vektor der Ersatzstromquellen.