Mathematik: Polyeder, Körperberechnung und Funktionslehre

Topic 11: Polyeder und geometrische Körper

Polyeder sind geometrische Körper, die von ebenen Polygonen (Flächen) begrenzt werden.

Eulerscher Polyedersatz: F + V = E + 2 (Flächen + Ecken = Kanten + 2, im Original: c + v = a + 2).

Eigenschaften von Polyedern

• Regelmäßige Polyeder: Körper, bei denen alle Flächen kongruente, regelmäßige Polygone sind und an jedem Knotenpunkt (Ecke) die gleiche Anzahl von Flächen zusammentrifft.
• Konvex: Ein Polyeder ist konvex, wenn die Verlängerung einer beliebigen Seitenfläche den Körper nicht schneidet.
• Konkav: Ein Polyeder ist konkav, wenn die Verlängerung mindestens einer Seitenfläche den Körper durchschneidet.

Prismen

Ein Prisma ist ein Polyeder mit zwei kongruenten und zueinander parallelen Flächen, die als Basen (Grundflächen) bezeichnet werden. Die Seitenflächen sind Parallelogramme.

Arten von Prismen: gerade, regelmäßige, unregelmäßige, schiefe Prismen und Parallelepipede.

Oberflächenberechnung:

• Mantelfläche: A_L = P_b · h
• Gesamtoberfläche: A = A_L + 2 · A_b (wobei P_b der Umfang der Basis und A_b der Grundflächeninhalt ist).

Pyramiden

Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein beliebiges Polygon ist und dessen restliche Seitenflächen Dreiecke sind, die in einer gemeinsamen Spitze zusammentreffen.

Oberfläche: A = A_L + A_b = (P_b · a) / 2 + A_b (wobei a die Höhe der Seitendreiecke / Apothem bezeichnet).

Rotationskörper und Rundkörper

• Zylinder: Ein geometrischer Körper, der durch die Rotation eines Rechtecks um eine seiner Seiten entsteht.
  Fläche: A = 2πr·h + 2πr²
• Kegel: Körper mit Grundkreis und Mantellinie.
  Fläche: A = πr·s + πr² (wobei s die Mantellinie / Generatrix darstellt).
• Kugel: Geometrischer Rundkörper.
  Fläche: A = 4πr²

Topic 13: Funktionen und kartesische Koordinaten

Kartesisches Koordinatensystem

Ein Punkt P in der Ebene wird durch ein geordnetes Zahlenpaar (x, y) eindeutig bestimmt. Diese Werte heißen kartesische Koordinaten des Punktes; man notiert: P(x, y).

Funktionale Beziehung: Beziehung zwischen zwei numerischen Variablen x und y, sodass jedem festen Wert von x genau ein Wert von y entspricht. Dabei ist x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable.

Stetigkeit

• Kontinuierlich (stetig): Der Graph kann in einem durchgehenden Strich gezeichnet werden.
• Diskontinuierlich (unstetig): Der Graph kann nicht in einem einzigen Strich durchgezeichnet werden.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

• Schnittpunkte mit der x-Achse: Besitzen die Form (a, 0). Sie werden bestimmt, indem man für y den Wert 0 einsetzt.
• Schnittpunkte mit der y-Achse: Besitzen die Form (0, b). Sie werden bestimmt, indem man für x den Wert 0 einsetzt.

Monotonie sowie Maxima und Minima

• Monoton steigend: Eine Funktion ist steigend, wenn bei zunehmendem x auch y zunimmt.
• Monoton fallend: Eine Funktion ist fallend, wenn bei zunehmendem x der Funktionswert y abnimmt.
• Maximum: Ein Hochpunkt liegt vor, wenn der Graph von steigendem Verlauf zu fallendem Verlauf wechselt.
• Minimum: Ein Tiefpunkt liegt vor, wenn der Graph von fallendem Verlauf zu steigendem Verlauf wechselt.

Proportionalitäten

• Direkte Proportionalität: Lineare Zuordnung der Form y = m · x, wobei m die Proportionalitätskonstante (Steigung) ist. Ist m positiv, so steigt die Funktion; ist m negativ, fällt sie.
• Indirekte (antiproportionale) Proportionalität: Umgekehrte Zuordnung der Form y = k / x, wobei k die Proportionalitätskonstante (inverses Verhältnis) darstellt.