Mathematische Formelsammlung: Geometrie, Trigonometrie und komplexe Zahlen

Mathematische Formelsammlung: Geometrie und Analytik

1. Polyeder und Eulersche Polyederformel

Die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten eines Polyeders steht in folgendem Zusammenhang: E + F = K + 2 (Eulersche Polyederformel), wobei E die Ecken, F die Flächen und K die Kanten bezeichnet.

Beispiel: 3,4 + 2,5 + 4,3 / 2 = 17, also gilt V + F = A + 2.

2. Körperformeln: Kugel, Pyramide und Kegel

• Kugeloberfläche: A = 4πr²
• Kugelvolumen: V = (4/3)πr³
• Pyramide und Kegel: V = (A_Basis · h) / 3

3. Apothemen (Inkreisradien)

• Dreieck: m = a√3 / 6
• Quadrat: m = a / 2
• Sechseck: m = a√3 / 2

4. Regelmäßiges Tetraeder

• Höhe: h = a√6 / 3
• Oberfläche: A_T = a²√3

5. Abstand und Fläche in der Ebene

• Abstand zweier Punkte A und B: d(A,B) = √((x_A − x_B)² + (y_A − y_B)²)
• Dreiecksfläche: A_Dreieck = |D| / 2
• Abstand Punkt–Gerade: d(P,R) = |ax + by + c| / √(a² + b²)

6. Geraden

• Parallele Geraden: m₁ = m₂
• Senkrechte Geraden: m₁ = −1/m₂
• Steigung: m = tan(α) = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
• Schnittwinkel zweier Geraden: tan(φ) = |(m₁ − m₂) / (1 + m₁·m₂)|
• Ist eine Gerade vertikal, gilt tan(φ) = 1/m₁.

7. Kreis

• Allgemeine Form: x² + y² + Dx + Ey + F = 0
• Mittelpunkt: M(−D/2, −E/2)
• Radius: r = √(D²/4 + E²/4 − F)

8. Komplexe Zahlen

• Algebraische Form: z = a + bi
• Konjugierte Zahl: z̄ = a − bi
• Betrag: |z| = √(a² + b²)
• Polarform: z = |z|(cos φ + i sin φ), mit tan φ = b / a
• Imaginäre Einheit: i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1

9. Quadranten

Die Lage eines Punktes wird durch die Vorzeichen von x und y in den vier Quadranten der Koordinatenebene bestimmt.