Mathematische Grundlagen: Rechenregeln und Formeln
Operationen mit Klammern
Zuerst Multiplikationen oder Divisionen ausführen und danach Additionen oder Subtraktionen.
Wenn der Hauptnenner (kgV) berechnet wird: Das Ergebnis durch den Nenner teilen, multipliziert mit dem Zähler.
Es muss immer vereinfacht (gekürzt) werden.
Umwandlung in Brüche
Wenn es eine rein periodische Dezimalzahl ist (z. B. 235,2 mit Periode 2):
Im Zähler steht die Zahl ohne Komma minus der nicht-periodische Teil; im Nenner stehen so viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat.
Wenn es eine gemischt-periodische Dezimalzahl ist (z. B. 1,372 mit Periode 2):
Im Zähler steht die Zahl ohne Komma minus alle nicht-periodischen Ziffern; im Nenner stehen so viele Neunen, wie es periodische Ziffern gibt, gefolgt von so vielen Nullen, wie es nicht-periodische Nachkommastellen gibt.
Potenzen und Wurzeln
Eigenschaften der Potenzen (Potenzgesetze)
- a0 = 1 (jede Zahl hoch null ist gleich 1)
- ab · ac = ab+c
- ab / ac = ab-c
- (ab)c = ab·c
- a-b = 1 / ab
- 1 / a-b = ab
- (a · b)c = ac · bc
- (a / b)c = ac / bc
- (a / b)-c = (b / a)c = bc / ac
Sachaufgabe: Draht
Wir haben 90 m Draht. 2/3 davon verkaufen wir zu 3 € pro Meter, 1/6 des Rests zu 4 € pro Meter und die verbleibenden Meter zu 2 € pro Meter. Wie viel Gewinn haben wir erzielt, wenn wir den Draht für 2 € pro Meter eingekauft hatten?
Lösungsweg:
- 1. Schritt: 2/3 von 90 m = 60 m (es verbleiben 30 m)
- 2. Schritt: 1/6 von 30 m = 5 m (es verbleiben 25 m)
- 1. Verkauf: 60 m × 3 €/m = 180 €
- 2. Verkauf: 5 m × 4 €/m = 20 €
- Restverkauf: 25 m × 2 €/m = 50 €
- Gesamteinnahmen: 180 € + 20 € + 50 € = 250 €
- Einkaufspreis (Kosten): 90 m × 2 €/m = 180 €
- Gewinn: 250 € - 180 € = 70 €
Polynomdivision
Zuerst ermitteln wir den Quotienten, indem wir den Term höchsten Grades des Dividenden durch den Term höchsten Grades des Divisors dividieren.
Diesen Term multiplizieren wir mit dem Divisor und subtrahieren das Ergebnis vom Dividenden.
Diesen Prozess wiederholen wir, bis das Restpolynom einen kleineren Grad hat als der Divisor.
Wissenschaftliche Notation
„Besteht darin, eine Zahl mit einer signifikanten Ziffer (ungleich 0) vor dem Komma darzustellen.“
Intervalle
Bei einem geschlossenen Intervall [a, b] sind die Randpunkte eingeschlossen (ausgefüllte/farbige Punkte).
Bei einem offenen Intervall (a, b) sind die Randpunkte ausgeschlossen (nicht farbige / offene Punkte).
Binomische Formeln
- (a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2
- (-a + b)2 = a2 - 2·a·b + b2
- (a - b)2 = a2 - 2·a·b + b2
- (-a - b)2 = a2 + 2·a·b + b2
- (-a + b)·(a + b) = a2 - b2
Quadratische Lösungsformel (Mitternachtsformel)
x = (-b ± √(b2 - 4·a·c)) / (2·a)