Was ergibt (x + 3)(x + 7)?

Mit dem Distributivgesetz erhält man x² + 7x + 3x + 21, also zusammengefasst x² + 10x + 21.

Wie wird (4p + 3)² berechnet?

Man quadriert den ersten Term, multipliziert beide Terme miteinander und verdoppelt das Ergebnis, dann quadriert man den zweiten Term: 16p² + 24p + 9.

Wie multipliziert man Monome mit unterschiedlichen Vorzeichen?

Man multipliziert die Koeffizienten; Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives, unterschiedliche Vorzeichen ein negatives Produkt. Die Potenzen gleicher Basen werden addiert.

Potenzgesetze und Polynommultiplikation: Regeln, Beispiele und Übungen

Zusammenfassung

Das Dokument erklärt die Potenzgesetze (Potenz der Eins, Multiplikation und Potenzierung von Potenzen, Potenz eines Produkts) sowie die Multiplikation von Monomen, Monomen mit Polynomen, Binomen und Polynomen. Anhand durchgerechneter Beispiele lernt man, wie Exponenten addiert und Terme zusammengefasst werden. Außerdem werden binomische Formeln und ihre Anwendung wiederholt.

Kernpunkte

Für a ≠ 0 gilt a¹ = a: Ein Exponent von eins wird meist nicht geschrieben.
Bei gleicher Basis werden Potenzen multipliziert, indem die Exponenten addiert werden: aⁿ · aᵐ = aⁿ⁺ᵐ.
Bei einer Potenz einer Potenz werden die Exponenten multipliziert: (aⁿ)ᵐ = aⁿ·ᵐ.
Bei der Potenz eines Produkts wird jeder Faktor potenziert: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
Beim Multiplizieren von Monomen werden die Koeffizienten multipliziert und die Potenzgesetze auf gleiche Basen angewendet.
Ein Monom wird mit einem Polynom multipliziert, indem man das Distributivgesetz anwendet; ein Binom mit einem Binom durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleicher Terme.
Es gilt (x + y)² = x² + 2xy + y² und (x − y)² = x² − 2xy + y².

Stellen Sie sich auf die Probe

Regel 1: Das Potenzgesetz der Eins

Ist a eine reelle Zahl, dann ist a = a¹.

Diese Regel besagt, dass, wenn eine Variable keinen Exponenten hat, ihr Exponent eins (1) ist.

Beispiele:

5¹ = 5
(-6)¹ = -6
(3a³b⁴)¹ = 3a³b⁴

Regel 2: Multiplikation von Potenzen

Wenn a eine beliebige reelle Zahl und m, n positive ganze Zahlen sind, dann gilt:

aⁿ ⋅ a^m = a^n+m

Dies bedeutet, dass bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis die Exponenten addiert werden.

Beispiele:

x⁸ ⋅ x⁷ = x⁸⁺⁷ = x¹⁵

HqR4P K1icOtq0shWo2C6tXCyWSsUr7VFM7aDS + + + lylFoc62tIlLuNYIxoZZxphAfBXFhJRJmCrqox2bSx2f NNnkdGVuNr3M9x6lp7eXem9wteIMzvB40JoJ6aEorNtsP0lKT1rVgZOrFbq IPXeZaQm1qS3o6e6tbJJjPAPrxPk68qNf + + +7 aLXPbPJbwunmZxrU2Us2blJMwVBfaHe3B0bIWZhUrzcsK6F8RzGJAAAA7 VvtdpV54lJiVY93WPFQzD46Gl9eIcK84rgSQdsVT109S6xzCearCZmUKfNlV

y⁴ ⋅ y⁶ = y⁴⁺⁶ = y¹⁰

3) nWYSVcwQmRh2DciFYnQEFAAA7

4) (-4)² ⋅ (-4) = (-4)²⁺¹ = (-4)³

Regel 3: Potenz einer Potenz

Ist a eine reelle Zahl und sind m, n positive ganze Zahlen, dann gilt:

(aⁿ)^m = a^n⋅m

kKJmXvBT + vwFlzKKGu0GyNEAAAAASUVORK5CYII =

Beispiele:

(3³)⁵ = 3^3⋅5 = 3¹⁵
(p⁴)⁶ = p^4⋅6 = p²⁴

Regel 4: Potenz eines Produkts

Wenn a, b reelle Zahlen und n eine positive ganze Zahl sind, dann gilt:

(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

Beispiele:

(ab)⁴ = a^(1⋅4)b^(1⋅4) = a⁴b⁴
(3m)⁴ = 3^(1⋅4)m^(1⋅4) = 3⁴m⁴ = 81m⁴
(-2p³q⁵)² = (-2)²p^(3⋅2)q^(5⋅2) = 4p⁶q¹⁰

Multiplikation eines Monoms mit einem anderen Monom

Um Monome zu multiplizieren, bestimmen wir das Produkt der Koeffizienten. Anschließend wenden wir die Potenzgesetze auf die gleichen Basen an.

Beachten Sie die Regeln der Zeichen bei der Multiplikation:

(Positiv) ⋅ (Positiv) = Positiv (Gleiche Vorzeichen)
(Negativ) ⋅ (Negativ) = Positiv
(Positiv) ⋅ (Negativ) = Negativ (Unterschiedliche Vorzeichen)
(Negativ) ⋅ (Positiv) = Negativ

Beispiele:

(5x⁵y²) (-4x³y⁷) = (5) ⋅ (-4) ⋅ x⁽⁵⁺³⁾ ⋅ y⁽²⁺⁷⁾
= -20x⁸y⁹

(4m⁶n⁵t²) (-2m²n³t⁴) (3mn⁷t⁸) = (4) ⋅ (-2) ⋅ (3) ⋅ m^(6+2+1) ⋅ n^(5+3+7) ⋅ t^(2+4+8)
= -24m⁹n¹⁵t¹⁴

(12a⁶b²) (-4a⁵b⁴) (-b³) = (12) ⋅ (-4) ⋅ (-1) ⋅ a⁽⁶⁺⁵⁾ ⋅ b^(2+4+3)
= 48a¹¹b⁹

Übungsaufgaben:

Seite 172, Aufgaben 1 bis 50 (ungerade)

Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom

Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, verwenden wir das Distributivgesetz und die Potenzgesetze.

Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac

Beispiele:

-7(2t + 5) = (-7)(2t) + (-7)(5) = -14t - 35
y⁶(7y² + 2y - 6) = y⁶(7y²) + y⁶(2y) + y⁶(-6) = 7y⁸ + 2y⁷ - 6y⁶
9m⁴(-4m² + 2m - 8) = 9m⁴(-4m²) + 9m⁴(2m) + 9m⁴(-8) = -36m⁶ + 18m⁵ - 72m⁴
3x³y²z(4y⁸ - 12x² + 7x⁹z⁵) = 3x³y²z(4y⁸) - 3x³y²z(12x²) + 3x³y²z(7x⁹z⁵)
= 12x³y¹⁰z - 36x⁵y²z + 21x¹²y²z⁶

Übungsaufgaben:

Seite 179, Aufgaben 1 bis 8

Multiplikation eines Binoms mit einem Binom

Um ein Binom mit einem anderen Binom zu multiplizieren, verwenden wir das Distributivgesetz.

Hinweis: Denken Sie daran, ähnliche Terme zu addieren.

Beispiele:

(x + 3)(x + 7) = (x)(x) + (x)(7) + (3)(x) + (3)(7)
= x² + 7x + 3x + 21
= x² + 10x + 21

(3y + 7)(4y - 9) = (3y)(4y) + (3y)(-9) + (7)(4y) + (7)(-9)
= 12y² - 27y + 28y - 63
= 12y² + y - 63

(x + 5)² = (x + 5)(x + 5) = (x)(x) + (x)(5) + (5)(x) + (5)(5)
= x² + 5x + 5x + 25
= x² + 10x + 25

Schritte zur Bestimmung des Quadrats eines Binoms:

Quadrieren Sie den ersten Term.
Multiplizieren Sie die beiden Terme miteinander und multiplizieren Sie das Ergebnis dann mit 2.
Quadrieren Sie den zweiten Term.

Beispiele:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x - y)² = x² - 2xy + y²

Hinweis: Der einzige Unterschied zwischen diesen beiden Beispielen ist das Vorzeichen des mittleren Terms.

(x - 6)² = x² - 12x + 36
(4p + 3)² = 16p² + 24p + 9

Übungsaufgaben: Führen Sie die folgenden Operationen aus.

(y + 4)² =
(2 - x)² =
(2p + 1)² =
(7x + 3y)² =
(-3y + 5)² =
(6a - 4)² =
(9a + b)² =
(6b - 7c)² =
(p - 10)² =
(5w + 7)² =

Kubische Binomische Formeln

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Beispiel:

(x + 3)³ = (x)³ + 3(x)²(3) + 3(x)(3)² + (3)³
= x³ + 9x² + 27x + 27

(5t - 2)³ = (5t)³ + 3(5t)²(-2) + 3(5t)(-2)² + (-2)³
= 125t³ - 150t² + 60t - 8

Übungsaufgaben: Kubische Binome entwickeln

(4 + w)³ =
(7a + 2)³ =
(h - g)³ =
(8 + 3d)³ =
(6y + x)³ =
(4p - 9)³ =
(5t - 4k)³ =
(9 + 5g)³ =
(8w - 3z)³ =
(2n - 6m)³ =

Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom

Um ein Polynom mit einem anderen Polynom zu multiplizieren, verwenden wir das Distributivgesetz. Das heißt, multiplizieren Sie jeden Term des einen Polynoms mit jedem Term des anderen Polynoms und fassen Sie anschließend gleiche Terme zusammen.

v4BXMEukYaChA5W2TcFl7WJDpHgYFEAADs =

Pw5q0WvaEiKP7Hl3i6GjmqT3f6jXjqzTovEkYy7owGdCoHgvgVsDdpOc72SrC4WdpTCCTKZLzGZVSTdBL8zro7qZUsRcMypKTZtH32mZuq1nA2xlfrH15K7qPsEcDePZHMrdRJ4UW5jZH6AcGKDgDGQlnQfmjGMOYp6nEqedJAcolGnE3lGpjmoiqykgk4foqaie7yoBo6RYrCVXby5MrJnyr94sV84hcitfmOhzVkFPK65zZVBTECpHtBVgAADs AALDhI pF + +0 =

h1uwYxoUJJPIwUAAA7

Beispiele:

(2y + 5)(y² + 4y - 7) = 2y(y²) + 2y(4y) + 2y(-7) + 5(y²) + 5(4y) + 5(-7)
= 2y³ + 8y² - 14y + 5y² + 20y - 35
= 2y³ + (8y² + 5y²) + (-14y + 20y) - 35
= 2y³ + 13y² + 6y - 35

(7y - 6)(5y² + 8y - 3) = 7y(5y²) + 7y(8y) + 7y(-3) - 6(5y²) - 6(8y) - 6(-3)
= 35y³ + 56y² - 21y - 30y² - 48y + 18
= 35y³ + (56y² - 30y²) + (-21y - 48y) + 18
= 35y³ + 26y² - 69y + 18

Übungsaufgaben:

Seite 179, Aufgaben 53 bis 64 (ungerade)

Potenzgesetze und Polynommultiplikation: Regeln, Beispiele und Übungen

Zusammenfassung

Kernpunkte

Regel 1: Das Potenzgesetz der Eins

Beispiele:

Regel 2: Multiplikation von Potenzen

Beispiele:

Regel 3: Potenz einer Potenz

Beispiele:

Regel 4: Potenz eines Produkts

Beispiele:

Multiplikation eines Monoms mit einem anderen Monom

Beispiele:

Übungsaufgaben:

Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom

Beispiele:

Übungsaufgaben:

Multiplikation eines Binoms mit einem Binom

Beispiele:

Schritte zur Bestimmung des Quadrats eines Binoms:

Beispiele:

Übungsaufgaben: Führen Sie die folgenden Operationen aus.

Kubische Binomische Formeln

Beispiel:

Übungsaufgaben: Kubische Binome entwickeln

Multiplikation eines Polynoms mit einem Polynom

Beispiele:

Übungsaufgaben:

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Häufige Fragen

Was ergibt (x + 3)(x + 7)?

Wie wird (4p + 3)² berechnet?

Wie multipliziert man Monome mit unterschiedlichen Vorzeichen?

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