Statistische Kennzahlen: Lage, Streuung, Form und Konzentration
1. Maße der Lage
2.1 Maße der zentralen Lage: Der Mittelwert
Maße der zentralen Lage: Sie dienen dazu, das zentrale Verhalten bzw. die globale Verteilung der Daten sowie den Schwerpunkt der Häufigkeiten zu finden. Sie suchen Teile der Bevölkerung.
Arithmetischer Mittelwert: Er ist die Summe aller Daten, geteilt durch die Anzahl der Daten (bzw. gewichtet mit den relativen Häufigkeiten). Er ist sensibel gegenüber Ausreißern. Eigenschaften:
- Die Summe der Abweichungen vom arithmetischen Mittel ist null.
- Gruppierung
- Konvektion und Wandel der Skala
2.2 Geometrischer Mittelwert und harmonischer Mittelwert
Geometrischer Mittelwert: Er ist die n-te Wurzel aus dem Produkt aller Werte. Er wird für positive Variablen verwendet, etwa bei Wachstumsraten oder Indexzahlen.
Harmonischer Mittelwert: Er wird verwendet bei Geschwindigkeiten, Preisen, Renditen, Wechselkursänderungen usw.
2.3 Modus, Median und Quantile
Modus: Der Modus ist der Wert der Variable mit der größten Häufigkeit.
Median: Der Median teilt die geordnete Reihe in zwei gleich große Hälften. Er minimiert die absoluten Abweichungen.
Quantile: Quantile teilen die Beobachtungen in eine Anzahl gleich großer Intervalle.
3. Maße der Streuung
3.1 Spannweite
Streuungsmaße: Sie fassen die Variabilität der Daten in einer einzigen Zahl zusammen.
Spannweite bzw. Range: Sie ist die Differenz zwischen den extremen Werten der Variable. Sie verwendet nur die beiden Extremwerte und nicht die Intervalle.
Mittlere absolute Abweichung: Sie kann um das arithmetische Mittel, den Median usw. berechnet werden. Sie misst die Repräsentativität des Mittelwerts. Sie wird minimal bezüglich des Medians.
3.2 Varianz und Standardabweichung
Varianz: Sie ist das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen vom arithmetischen Mittel. Eigenschaften:
- Sie kann nicht negativ sein.
- Sie ist invariant gegenüber Veränderungen des Ursprungs.
- Sie ist nicht invariant gegenüber Skalenänderungen.
Standardabweichung: Sie ist die positive Quadratwurzel der Varianz. Sie drückt die Variabilität der Daten in derselben Einheit wie die Daten aus.
3.3 Relative Streuungsmaße
Variationskoeffizient nach Spannweite: Er ist der Quotient aus der Spannweite und der Summe der Extremwerte. Er gilt z. B. für Löhne usw.
Relative Spannweite: Sie ist die Spannweite geteilt durch den Mittelwert.
Variationskoeffizient: Er ist die Standardabweichung geteilt durch das arithmetische Mittel. Er wird verwendet, um die Streuung verschiedener Variablen zu vergleichen, und ist dann aussagekräftig, wenn die Verteilung homogen ist.
3.4 Momente zentriert und nicht zentriert
Momente: Sie fassen Informationen über die Häufigkeitsverteilung im Hinblick auf bestimmte Aspekte oder Eigenschaften zusammen. Das arithmetische Mittel und die Varianz sind Spezialfälle.
4. Maße der Form
4.1 Schiefekoeffizient nach Fisher
Maße der Form: Sie beschreiben, wie die Verteilung in der Grafik der Häufigkeiten aussieht.
Schiefekoeffizient nach Fisher: Er wird verwendet, um die Asymmetrie zu messen. Er ist dimensionslos und unabhängig von Ursprung und Skalenänderungen.
4.2 Wölbungskoeffizient (Kurtosis) nach Fisher
Er bezieht sich auf fast unimodale, symmetrische Verteilungen. Er misst, wie flach oder spitz die Glockenkurve im Vergleich zur Gauß-Glocke ist. Er ist dimensionslos und unabhängig von Ursprung und Skalenänderungen.
5. Maße der Konzentration
5.1 Lorenzkurve
Maße der Konzentration: Dies sind Werte, die größer oder gleich dem Mindestwert sind und den Grad der Ungleichverteilung der gesamten Variable angeben. Die Variablen sind positiv.
Lorenzkurve: Sie ist der Graph dieser Darstellung in einem Quadrat der Seitenlänge 1 als Polygon.
5.2 Gini-Koeffizient
Gini-Koeffizient: Er ist ein Wert zwischen 0 und 1, der den Grad der Konzentration misst.
5.3 Median und Medial
Medial: Es ist der Variablenwert, der die Summe in zwei Teile teilt, deren Beobachtungen am Ende gleich sind, wenn die Reihe geordnet ist.
5.4 Beziehung zwischen Konzentration und Streuung
Konzentration: Sie beschreibt die Ungleichverteilung der gesamten Variable. Je nach Grad entspricht sie der Gesamtverteilung der Variable.
Streuung: Sie bezeichnet die Variabilität der Daten. Je nach Grad ist sie mehr oder weniger repräsentativ für den Mittelwert.
6. Korrelation und Kovarianz
6.3 Koeffizient der linearen Korrelation
Kovarianz: Sie beschreibt den Zusammenhang der Verteilung zweier Variablen X und Y. Wenn sie positiv variieren, geschieht dies im selben Sinn; wenn sie negativ variieren, im entgegengesetzten Sinn. Bei statistischer Unabhängigkeit gilt: sxy = 0.
Koeffizient der linearen Korrelation: Er ist ein objektives Maß für die gemeinsame Variabilität zweier Variablen. Der Wert ist auf das Intervall zwischen -1 und 1 begrenzt.
7. Indexzahlen
7.1 Elementarindex und Synthetischer Index
Indexzahlen: Sie dienen dazu, wirtschaftliche Größen zu beschreiben und zu vergleichen.
Elementarindex: Er ist der Quotient i = gt / g0. Eigenschaften:
- Kreisförmigkeit: Er erfüllt die Eigenschaft, dass ein Index über Perioden hinweg zurück zur Ausgangsbasis führt.
- Inversion: Der Index der Rückrichtung ist der Kehrwert des Hinrichtungsindex.
- Verkettung: Der Index einer Periode t bezogen auf die Periode 0 ergibt sich als Produkt der Indizes der Zwischenperioden.
- Multiplikation: Der Elementarindex einer Periode ist das Produkt der Elementarindizes.
- Division: Der Elementarindex einer Periode ist der Quotient der Indizes.
Synthetischer Index: Er fasst die Größenordnung mehrerer Elementarindizes in einer Zahl zusammen.
Sauerbeck-Index: Er ist das arithmetische Mittel der Elementarindizes.
Index nach Bradstreet und Dudot: Er ist die Summe der Komponenten der aktuellen Periode, geteilt durch die Summe der Komponenten der Basisperiode.
Laspeyres-Index: Er ist das arithmetische Mittel der Elementarindizes mit den Gewichtungsfaktoren der Basisperiode.
Paasche-Index: Er ist das harmonische Mittel der Elementarindizes mit den Gewichtungsfaktoren der aktuellen Periode.
Fisher-Index: Er ist das geometrische Mittel aus Laspeyres- und Paasche-Index.
7.2 Preis- und Mengenindizes
Preisindex nach Laspeyres: Er wird berechnet, indem die Preise der aktuellen Periode bei den Mengen der Basisperiode mit den Preisen der Basisperiode verglichen werden.
Preisindex nach Paasche: Er berücksichtigt die Mengen der aktuellen Periode und bestimmt den Wert anhand der Preise der aktuellen Periode im Vergleich zur Basisperiode.
Mengenindex nach Laspeyres: Er wird berechnet, indem die Mengen der aktuellen Periode bei den Preisen der Basisperiode mit den Mengen der Basisperiode verglichen werden.
Mengenindex nach Paasche: Er berücksichtigt die Preise der aktuellen Periode bei den Mengen der aktuellen Periode im Vergleich zur Basisperiode.
8. Wahrscheinlichkeitstheorie
8.1 Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit nach der Definition von Laplace: Sie ist definiert für Ereignisse, die alle gleich wahrscheinlich auftreten können.
Frequentistische Definition der Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit ist der Grenzwert, dem sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses nähert, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen unendlich geht.
8.2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeit
Stichprobenraum: Er ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
Ereignisraum: Er ist die Menge aller Teilmengen des Stichprobenraums.
Definition der Wahrscheinlichkeit: Bei einem endlichen Stichprobenraum und einem Ereignisraum wird jedem Ereignis eine reelle Zahl zugeordnet, die seine Wahrscheinlichkeit angibt.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit: Sie ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Ereignisse gleichzeitig eintreten (Durchschnitt der Ereignisse).