Grundlagen der Logik: Von der Philosophie zur Informatik

Einführung

Diese Arbeit befasst sich mit der Logik des Wissens, insbesondere mit der logikorientierten Elektronik und Informatik.

Die Logik

Der Begriff Logik stammt vom griechischen Wort logos, was „Wort“, „Satz“ oder „Vernunft“ bedeutet. Sie ist der Zweig der Philosophie, der die formalen Prinzipien der menschlichen Erkenntnis untersucht. Die Analyse konzentriert sich auf die Gültigkeit von Überlegungen und Argumenten. Dabei wird versucht, die Bedingungen zu bestimmen, unter denen ein Individuum aus gegebenen Aussagen, den sogenannten Prämissen, eine Schlussfolgerung ableiten kann. Die logische Gültigkeit hängt vom korrekten Verhältnis zwischen den Prämissen und der Konklusion ab: Sind die Prämissen wahr, muss auch die Konklusion wahr sein. Die Logik ist somit für die Analyse der Struktur, den Wahrheitsgehalt und die Klassifizierung von Aussagen verantwortlich.

Die Logik im Laufe der Zeit

Im Laufe der Geschichte hat die Logik zwei wesentliche Phasen durchlaufen:

Aristotelische Logik

Die klassische (oder traditionelle) Logik wurde maßgeblich von Aristoteles geprägt, der Regeln für die syllogistische Argumentation formulierte. Ein Syllogismus besteht aus vier möglichen Aussagen:

• „Alle A sind B“ (allgemein bejahend)
• „Kein A ist ein B“ (allgemein verneinend)
• „Einige A sind B“ (partiell bejahend)
• „Einige A sind nicht B“ (partiell verneinend)

Die Buchstaben ersetzen Begriffe wie „Hund“ oder „Lebewesen“. Ein gut formulierter Syllogismus besteht aus zwei Prämissen und einem Ergebnis, wobei jede Prämisse einen gemeinsamen Begriff mit der Konklusion und einen zweiten Begriff zur Verknüpfung mit der anderen Prämisse aufweisen muss.

Moderne Logik

Mitte des 19. Jahrhunderts eröffneten George Boole und Augustus De Morgan ein neues Feld: die symbolische (oder moderne) Logik. Diese wurde später von Gottlob Frege sowie Bertrand Russell und Alfred North Whitehead in den Principia Mathematica (1910–1913) weiterentwickelt. Das System von Russell und Whitehead deckt ein breiteres Spektrum an Argumenten ab als die Syllogistik. Es führt Symbole für Sätze und Konjunktionen wie „und“, „oder“ sowie „wenn... dann...“ ein. Zudem unterscheidet es zwischen Subjekt und Prädikat sowie Klassenbeziehungen. Im Gegensatz zur klassischen Logik setzt die moderne Logik nicht zwingend die Existenz der erwähnten Dinge voraus.

Methoden der Logik

Sowohl die klassische als auch die moderne Logik nutzen deduktive Methoden. Ergänzend dazu wurden Methoden der induktiven Logik entwickelt, deren wichtigster Vertreter John Stuart Mill war. Sein System der Logik (1843) legte den Grundstein für empirische wissenschaftliche Prüfverfahren, die eng mit der Wahrscheinlichkeitstheorie verknüpft sind. In jüngerer Zeit wurden zudem Systeme wie die mehrwertige Logik (z. B. neutraler Wert oder Wahrscheinlichkeitswerte zwischen 0 und 1), die Modallogik (Möglichkeit, Notwendigkeit) und die deontische Logik (Verpflichtungen) entwickelt.

Logik in Elektronik und Informatik

Die Anwendung der Logik in der Elektronik erfolgt durch sogenannte Logikgatter. Um diese zu definieren, ist die Kenntnis der Booleschen Algebra erforderlich, die logische Operationen wie UND, ODER und NICHT beschreibt und im Binärsystem (0 und 1) arbeitet.

Ein Logikgatter ist ein elektronisches Gerät, das einen Booleschen Operator in der Schaltlogik physisch umsetzt. Sie sind im Wesentlichen integrierte Schaltkreise auf einem Chip.

Arten von Logikgattern

UND-Gatter (AND)

Das UND-Gatter führt die Boolesche Funktion des logischen Produkts aus. Sein Symbol ist der Punkt (·). Ein UND-Gatter liefert nur dann eine logische 1, wenn alle Eingänge auf 1 stehen.

ODER-Gatter (OR)

Das ODER-Gatter führt die logische Summe aus. Sein Symbol ist das Pluszeichen (+). Es liefert eine logische 1, wenn mindestens einer der Eingänge 1 ist.

Exklusiv-Oder-Gatter (XOR)

Das XOR-Gatter führt die Funktion A'B + AB' aus. Sein Symbol ist ein Pluszeichen im Kreis. Es liefert eine 1, wenn die Eingänge unterschiedlich sind (1 und 0 oder 0 und 1).

NICHT-Gatter (NOT)

Das NICHT-Gatter führt die Inversion oder Verneinung einer logischen Variable aus. Es kehrt den Zustand des Eingangs um.

Weitere Logikgatter

• NAND-Gatter: Das Gegenteil von UND. Liefert eine 0, wenn alle Eingänge 1 sind.
• NOR-Gatter: Das Gegenteil von ODER. Liefert eine 1, wenn alle Eingänge 0 sind.
• XNOR-Gatter: Das Gegenteil von XOR. Liefert eine 1, wenn beide Eingänge gleich sind.