Notizen, Zusammenfassungen, Arbeiten, Prüfungen und Aufgaben für Englisch

Laplace-Transformation: Grundlagen und Anwendungen

Definition der Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformierte F(s) einer Originalfunktion f(t) ist definiert als:

F(s) = ∫₀^∞ f(t) e^-st dt = L[f(t)]

Die Funktion f(t) muss dabei folgende Bedingungen erfüllen: Für t < 0 gilt f(t) = 0, und f(t) ist stückweise stetig sowie von exponentieller Ordnung, d.h. |f(t)| < M·e^at.

Grundlegende Eigenschaften und Sätze

Linearität

Die Laplace-Transformation ist linear: L[a·f(t) + b·g(t)] = a·F(s) + b·G(s).

Ähnlichkeitssatz

Für a > 0 gilt: L[f(at)] = (1/a)·F(s/a).

Verschiebungssatz (Zeitverschiebung)

Ist f(t) kausal, so gilt: L[f(t − T)·σ(t − T)] = e^-sT·F(s).

Dämpfungssatz (Frequenzverschiebung)

L[e^-at·f(t)] = F(s + a).

Faltungssatz

L[...

Westkatalanischer Sprachraum

Westkatalanisch: Maskuline Wörter im Plural bilden Formen mit Endung auf -ns (z. B. hòmens, jòvens). Die erste Person Singular Präsens Indikativ endet oft auf -o oder -e (z. B. ich singe / jo cant / cante). Vor Verbformen bleiben unbetonte Pronomina oft erhalten (z. B. schwache Formen wie te menge / ich beiße dich).

Nordwestkatalanisch

Der nordwestliche Rand neigt dazu, Laute zu diphthongieren (wie au- in aubrim oder Wörtern wie Vogel / ocell und redó-round). Im Vokabular und der Morphologie wird teils der archaische maskuline Artikel lo bzw. es verwendet. Kennzeichnend sind ferner distinkte Endungen der 1. Person Präsens Indikativ und Konjunktiv. Eigener Wortschatz: sargantana / sangartalla (Eidechse),...

Verwendung des Past Continuous

Das Past Continuous wird verwendet, um Handlungen zu beschreiben, die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Vergangenheit im Verlauf befanden, auf den wir uns beziehen, und die nach diesem Zeitpunkt andauerten:

• This morning at 8:00 he was reading. (Heute Morgen um 8:00 Uhr las er: Die Handlung hatte vor 8:00 Uhr begonnen und dauerte nach diesem Augenblick weiter an.)
• Last Monday he was travelling. (Letzten Montag war er auf Reisen: Die Reisehandlung begann vor Montag und setzte sich danach fort.)

Im Spanischen entspricht das Past Continuous der Verlaufsform estaba leyendo oder kann mit dem pretérito imperfecto (ella leía) übersetzt werden. Im Deutschen entspricht es der Umschreibung „war gerade dabei zu lesen“...

Unregelmäßige Verben im Englischen

Die folgende Liste enthält unregelmäßige Verben mit ihrer Grundform, der Vergangenheitsform (Simple Past) und dem Partizip II (Past Participle). Diese Formen sind essenziell für das Erlernen der englischen Grammatik.

Liste der unregelmäßigen Verben

• become – became – become (werden)
• begin – began – begun (beginnen)
• bend – bent – bent (biegen)
• bet – bet – bet (wetten)
• bite – bit – bitten (beißen)
• bleed – bled – bled (bluten)
• blow – blew – blown (wehen, blasen)
• break – broke – broken (brechen)
• bring – brought – brought (bringen)
• build – built – built (bauen)
• burn – burnt/burned – burnt/burned (brennen)
• burst – burst – burst (platzen)
• buy – bought – bought (kaufen)