Notizen, Zusammenfassungen, Arbeiten, Prüfungen und Probleme für Mathematik

Satz von Cauchy (Mittelwertsatz)

Wenn f und g zwei Funktionen sind, die folgende Bedingungen erfüllen:

• f und g sind stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b].
• f und g sind differenzierbar auf dem offenen Intervall (a, b).
• Für alle x im offenen Intervall (a, b) gilt: g'(x) ≠ 0.

Dann existiert eine Zahl z im offenen Intervall (a, b), sodass:

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(z)}{g'(z)}$$

Beweis

Zuerst zeigen wir, dass g(b) ≠ g(a).

Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass g(b) = g(a).

Da g die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes erfüllt, existiert eine Zahl c in (a, b), sodass:

$$g'(c) = \frac{g(b) - g(a)}{b - a}$$

Da wir angenommen haben, dass g(b) = g(a), ist g(b) - g(a) = 0, also g'(c) = 0. Dies widerspricht der... Weiterlesen "Satz von Cauchy: Beweis" »

Miguel Hernández: Themen und Engagement

Die Natur in Miguel Hernández' Werk

Miguel Hernández stand immer in direktem Kontakt mit der Natur, wie ein Kind. Geboren in Orihuela, in der Nähe der Berge, beeinflusste dies seine Poesie direkt: Baum, Blitzschlag oder Vogel wurden alltägliche Elemente seiner Dichtung.

Der Dichter-Hirte und die Inspiration

Seine Arbeit als Hirte, die ihm eine tiefe und direkte Kenntnis des natürlichen Lebens verschaffte, war eine große Inspirationsquelle für unseren Dichter-Hirten. Miguel Hernández vermittelte seine Liebe zur Natur, die Schönheit der Dinge und seine Lebensfreude, die eine perfekte Symbiose zwischen Mensch und Umwelt darstellte.

Miguel Hernández wird für immer als poeta-pastor (Dichter-Hirte) bekannt... Weiterlesen "Miguel Hernández: Natur und soziales Engagement" »

Formeln und Funktionen in Excel

Ein Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel bietet vielfältige Möglichkeiten, Neuberechnungen bei jeder Änderung zu vermeiden. Wir werden die bereits in Excel 2003 definierten Management-Funktionen vertiefen, um die Erstellung von Tabellenkalkulationen zu rationalisieren. Dabei werden wir die Syntax und die Verwendung des Funktions-Assistenten studieren, ein sehr nützliches Werkzeug, wenn Sie die vorhandenen Funktionen und deren Syntax noch nicht gut kennen.

Hier sind die am häufigsten verwendeten Operatoren:

Funktion einfügen-Assistent

Als Funktion können alle Daten direkt in die Zelle geschrieben werden, wenn wir die Syntax kennen. Excel 2003 bietet jedoch eine Hilfe oder Unterstützung bei der Verwendung,... Weiterlesen "Formeln und Funktionen in Excel: Eine umfassende Anleitung" »

Geschäfts- oder Firmenwert (Goodwill): Definition und Bilanzierung

Der Geschäfts- oder Firmenwert (Goodwill) repräsentiert die Vorauszahlung zukünftiger wirtschaftlicher Vorteile, die aus einem erworbenen Unternehmen resultieren und die nicht einzeln identifizierbar und bilanzierbar sind. Er stellt keinen Eigentumstitel dar.

Seine Bilanzierung erfordert eine zuverlässige Schätzung und die Existenz einer zugrunde liegenden Transaktion. Er darf nur dann als Vermögenswert bilanziert werden, wenn er im Rahmen einer Unternehmensakquisition gegen Entgelt erworben wurde (Kombination von Geschäften).

Messung und Wertminderung des Goodwills

Die relevanteste Frage bei der Behandlung des Goodwills als Vermögenswert ist seine Messung: zunächst die... Weiterlesen "Goodwill, Vermögenswerte & Kontrolle: Bilanzierungsregeln" »

Aufgabe 1: Unsicherheit bei Sportteam-Auswahl

In einem Institut wurden gleich viele Fußballmannschaften (11 Spieler) und Handballmannschaften (7 Spieler) gebildet.

1. Angenommen, es ist bekannt, dass in einem zufällig ausgewählten Team keine zwei Studenten am selben Wochentag geboren wurden. Wie viel Unsicherheit besteht bezüglich der Sportart, die das Team spielt? Nehmen Sie an, ein Jahr hat genau 52 Wochen.
2. Dito, wenn das Team weiß, dass es Studenten gibt, die am selben Wochentag geboren wurden.

Lösung zu Aufgabe 1

1. Keine. Wenn keine zwei Studenten am selben Wochentag geboren wurden, kann es sich nicht um ein Fußballteam handeln (da 11 Spieler > 7 Wochentage). Es muss sich also um ein Handballteam handeln. Die Unsicherheit bezüglich der

Merkmale der Werbung

1. Spezifischer Kommunikationsprozess

Werbung ist ein spezifischer Kommunikationsprozess. Der Absender ist der Anbieter, die Botschaft ist die Anzeige, die Medien sind Zeitungen, Radio, Film, Fernsehen und Direktmarketing, und die Zielgruppe sind die Empfänger.

2. Unpersönliche Kommunikation

Werbung erfolgt über die Medien, es gibt keinen persönlichen Kontakt. Man unterscheidet zwischen persönlicher und unpersönlicher Werbung. Werbung verwendet einseitige Kanäle, die sich nicht an bestimmte Personen richten. Die Adressaten müssen nicht auf den Absender reagieren.

3. Bezahlte und kontrollierte Kommunikation

Eine Werbeagentur oder ein Inserent bezahlt die Werbung. Der Anbieter kontrolliert ihre Eigenschaften: Zeit, Häufigkeit... Weiterlesen "Merkmale und Geschichte der Werbung" »

Vektoren

Einige physikalische Größen, wie Kraft und Geschwindigkeit, haben sowohl Richtung als auch Größe. In solchen Fällen werden sie als Vektorgrößen bezeichnet. Die Richtung muss Bestandteil der Berechnungen im Zusammenhang mit diesen Größen sein. Beispiele: eine Verschiebung von 45 Metern in Richtung Norden oder eine Geschwindigkeit von 95 km/h, 30° nach Nordwesten.

Eigenschaften von Vektoren

Ein Vektor wird grafisch durch einen Pfeil dargestellt, an dem wir die folgenden Elemente finden:

• Angriffspunkt: Der Ursprung des Vektors.
• Stärke, Betrag oder Größe: Der Wert des Vektors, dargestellt durch die Länge des Pfeils, maßstabsgetreu.
• Richtung: Bestimmt die Wirkungslinie des Vektors und wird relativ zu einem Bezugspunkt angegeben,

Grenzwerte und Reihen

Quotientenkriterium (D'Alembert)

Eine Reihe ∑A_n konvergiert, wenn limn→∞ |An+1/An| < 1.

Satz von Stolz-Cesaro

Wenn limn→∞ (An - An-1) / (Bn - Bn-1) = L existiert und Bn streng monoton und unbeschränkt ist, dann ist auch limn→∞ An / Bn = L.

Arithmetisches Mittel

Für eine Folge An gilt: limn→∞ (A1 + ... + An) / n = limn→∞ An (falls der rechte Grenzwert existiert).

Geometrisches Mittel

Für eine Folge An gilt: limn→∞ √n(A1 * ... * An) = limn→∞ An (falls der rechte Grenzwert existiert und An > 0).

Konvergenzkriterien für Reihen

Konvergenzkriterium nach Raabe

Eine Reihe ∑A_n konvergiert, wenn limn→∞ n * (An / An+1 - 1) > 1.

Konvergenzkriterium nach Pringsheim

Eine Reihe ∑A_n konvergiert,... Weiterlesen "Mathematische Formelsammlung: Analysis, Grenzwerte & Integrale" »

Die moderne Dichtung in Frankreich begann Mitte des 19. Jahrhunderts, maßgeblich geprägt durch zwei literarische Strömungen: die Parnassiens und die Symbolisten, die sich von den Romantikern abgrenzten.

Die Parnassiens: Objektivität und "L'art pour l'art"

Die Parnassiens, eine literarische Schule, wandten sich gegen die Exzesse der Subjektivität und Sentimentalität der Romantik. Sie lehnten die oberflächliche Darstellung von Gefühlen ab. Neue Dichter wie Théophile Gautier und Leconte de Lisle befürworteten das Prinzip des „L'art pour l'art“, also eine objektive Poesie, die frei von persönlichen Gefühlen und Ideologien sein sollte. Thematisch schöpften die Parnassiens ihre Inspiration oft aus exotischen, alten Kulturen und Umgebungen,... Weiterlesen "Französische Dichtung im 19. Jahrhundert: Parnassiens, Symbolismus & Modernismo" »

Gesetzliche Regelungen: Allgemeine Begriffe

Das Recht manifestiert sich durch Regeln (Rechtsnormen). Diese Regeln haben unterschiedliche Reichweiten und Eigenschaften. Sie unterscheiden sich von anderen Normen, wie z.B. religiösen, und bilden zusammen das, was wir als Recht bezeichnen.

Arten von sprachlichen Aussagen

Gesetzliche Regelungen werden oft in präskriptiven sprachlichen Sätzen ausgedrückt. Sprachliche Aussagen können jedoch unterschiedlicher Art sein:

• Deskriptive sprachliche Sätze: Beschreiben einen Sachverhalt (z.B. "Das Trikot ist grün"). Diese Aussagen können auf ihren Wahrheitsgehalt geprüft werden.
• Evaluative Sätze: Geben eine persönliche Meinung wieder (z.B. "Dieses Trikot ist sehr schön"). Diese Aussagen sind subjektiv