Algebraische Gleichungen: Grundlagen, Typen & Lösungen

Grundlagen: Identität vs. Gleichung

Eine algebraische Gleichheit besteht aus zwei algebraischen Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen (=) verbunden sind. Man unterscheidet zwei Hauptarten:

• Identität: Eine Gleichheit, die für jeden beliebigen Wert der darin vorkommenden Variablen (Buchstaben) wahr ist.
• Gleichung: Eine Gleichheit, die nur für bestimmte Werte der Variablen wahr ist. Diese Werte nennt man Lösungen der Gleichung.

Bestandteile einer algebraischen Gleichung

Wichtige Begriffe im Zusammenhang mit Gleichungen sind:

• Mitglied: Jeder der beiden algebraischen Ausdrücke, die links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen.
• Term: Jeder Summand (oder Teil eines Produkts/Quotienten) innerhalb eines Mitglieds.
• Unbekannte (Variable): Die Buchstaben in einer Gleichung, deren spezifische Werte gesucht werden, um die Gleichung wahr zu machen.
• Grad einer Gleichung: Der höchste Exponent, mit dem eine Unbekannte in der Gleichung vorkommt (nachdem die Gleichung vereinfacht wurde).

Die Werte der Unbekannten, die eine Gleichung erfüllen (d.h. zu einer wahren Aussage führen), werden als Lösungen der Gleichung bezeichnet. Zwei Gleichungen gelten als äquivalent, wenn sie exakt dieselbe Lösungsmenge besitzen.

Quadratische Gleichungen (Gleichungen 2. Grades)

Eine quadratische Gleichung mit einer Unbekannten (meist x) ist eine Gleichung, die sich auf die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 bringen lässt. Dabei sind a, b und c Koeffizienten (reelle Zahlen), und es muss gelten: a ≠ 0 (sonst wäre es keine quadratische Gleichung mehr).

Lösungen quadratischer Gleichungen: Die Diskriminante

Um die Anzahl der reellen Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen, ohne sie vollständig zu lösen, verwendet man die Diskriminante, oft mit dem griechischen Buchstaben Delta (Δ) bezeichnet. Sie berechnet sich aus den Koeffizienten a, b und c wie folgt:

Δ = b² - 4ac

Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Wert der Diskriminante ab:

• Wenn Δ > 0 (Diskriminante ist positiv): Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen.
• Wenn Δ = 0 (Diskriminante ist null): Die Gleichung hat eine doppelte reelle Lösung (man kann auch sagen, zwei identische reelle Lösungen).
• Wenn Δ < 0 (Diskriminante ist negativ): Die Gleichung hat keine reellen Lösungen (sie hat jedoch zwei konjugiert komplexe Lösungen).

Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten

Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten (z.B. x und y) hat die allgemeine Form ax + by = c. Hierbei sind a, b und c bekannte Zahlen (Koeffizienten bzw. Konstante), wobei a und b nicht beide gleichzeitig null sein dürfen. Die Lösungen einer solchen Gleichung sind Zahlenpaare (x, y), die, wenn sie in die Gleichung eingesetzt werden, eine wahre Aussage ergeben. Grafisch stellt eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten eine Gerade im Koordinatensystem dar.

Systeme linearer Gleichungen

Ein System linearer Gleichungen (kurz: LGS) besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen mit denselben Unbekannten. Bei einem System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten (z.B. x und y) suchen wir Zahlenpaare (x, y), die beide Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Lösungsfälle linearer Gleichungssysteme (2x2)

Für ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten gibt es drei mögliche Lösungsfälle, die auch grafisch interpretiert werden können (als Lagebeziehung zweier Geraden):

• Genau eine Lösung (kompatibles bestimmtes System): Es gibt exakt ein Zahlenpaar (x, y), das beide Gleichungen erfüllt. Grafisch schneiden sich die beiden Geraden in einem Punkt.
• Keine Lösung (inkompatibles System): Es gibt kein Zahlenpaar (x, y), das beide Gleichungen erfüllt. Grafisch sind die beiden Geraden parallel und verschieden, sie schneiden sich nie.
• Unendlich viele Lösungen (kompatibles unbestimmtes System): Es gibt unendlich viele Zahlenpaare (x, y), die beide Gleichungen erfüllen. Grafisch sind die beiden Geraden identisch (sie liegen aufeinander).

Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme

Es gibt verschiedene algebraische Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen:

• Einsetzungsverfahren (Substitutionsmethode):
  1. Eine der Gleichungen wird nach einer Unbekannten aufgelöst.
  2. Der erhaltene Ausdruck für diese Unbekannte wird in die andere Gleichung eingesetzt.
  3. Die resultierende Gleichung mit nur noch einer Unbekannten wird gelöst.
  4. Die Lösung für diese Unbekannte wird in die umgestellte Gleichung aus Schritt 1 eingesetzt, um die zweite Unbekannte zu finden.
• Gleichsetzungsverfahren:
  1. Beide Gleichungen werden nach derselben Unbekannten aufgelöst.
  2. Die beiden Ausdrücke, die nun dieser Unbekannten entsprechen, werden gleichgesetzt.
  3. Die resultierende Gleichung mit nur noch einer Unbekannten wird gelöst.
  4. Die Lösung für diese Unbekannte wird in eine der umgestellten Gleichungen aus Schritt 1 eingesetzt, um die zweite Unbekannte zu finden.
• Additionsverfahren (Eliminationsverfahren):
  1. Die Gleichungen werden (falls nötig) so mit Zahlen multipliziert, dass die Koeffizienten einer Unbekannten in beiden Gleichungen entweder gleich sind oder sich nur im Vorzeichen unterscheiden (Betrag ist gleich).
  2. Die beiden (modifizierten) Gleichungen werden addiert oder subtrahiert, sodass eine Unbekannte eliminiert wird.
  3. Die resultierende Gleichung mit nur noch einer Unbekannten wird gelöst.
  4. Die Lösung für diese Unbekannte wird in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt, um die zweite Unbekannte zu finden.