Analysis II & III: Formeln, Grenzwerte, Integrale & DGL

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Geschrieben am 10. Oktober 2025 in Deutsch mit einer Größe von 164,54 KB

Konvergenz von Folgen und Funktionen

Konvergenzpunkt (Grenzwert)

Bestimmung des Grenzwerts:

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

Das Supremum-Kriterium (Cauchy-Kriterium):

Zur Überprüfung der gleichmäßigen Konvergenz wird das Supremum-Kriterium verwendet. Demnach konvergiert die Funktionenfolge gleichmäßig gegen die Grenzfunktion in M, genau dann, wenn:

Berechnung des Supremums:

Berechnen Sie das Supremum (Maximum) des absoluten Betrags im gegebenen Intervall :
Prüfen Sie, ob das Supremum gegen Null konvergiert, wenn $n \to \infty$:

Potenzreihen

Eine Potenzreihe hat die Form:

Konvergenzuntersuchung von Potenzreihen

Berechnung des Konvergenzradius R:

Wenn die Reihe kompliziert ist, kann sie abgeleitet werden ( ). Der Konvergenzradius der abgeleiteten Reihe ist identisch mit dem der ursprünglichen Reihe.

Die Reihe konvergiert absolut für . Außerhalb dieses Intervalls konvergiert die Reihe nicht.
Untersuchung der Randpunkte: (Ist $R$ ?)
- Ersetzen Sie in der ursprünglichen Reihe durch einen der Randwerte .
- Prüfen Sie, ob die resultierenden Reihen konvergieren oder divergieren. Eine schnelle Methode ist das Nullfolgenkriterium, das besagt: Wenn , dann ist die Reihe divergent.

Potenzreihenentwicklung (Taylorreihen)

Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variablen

Grenzwerte (Limits)

Prüfen Sie, ob eine Unbestimmtheit vorliegt.

Werte , die zu einer Unbestimmtheit führen.

Berechnung der iterierten Grenzwerte:

, wobei

Wenn sie übereinstimmen, gehen Sie zu Schritt 3 über.
Stimmem sie nicht überein, existiert der Grenzwert nicht.

Berechnung der gerichteten Grenzwerte (Richtungsabhängigkeit):

Wenn alle gerichteten Grenzwerte mit dem Wert der iterierten Grenzwerte übereinstimmen, fahren Sie mit Schritt 4 fort. Wenn mindestens einer abweicht, existiert der Grenzwert nicht.

Nachweis der Existenz des Grenzwertes:
- Durch die Definition des Grenzwertes (Epsilon-Delta).
- Mittels Polarkoordinaten.
Überprüfung der Stetigkeit an einem Punkt:
Ersetzen Sie die Koordinaten:
Prüfen Sie, ob die Funktion an der Stelle definiert ist:
Und ob die Stetigkeitsbedingung erfüllt ist:

Differenzierbarkeit und Ableitungen

Notation der Ableitungen

Partielle Ableitung:
Richtungsableitung:
Differential:

Berechnung des Differentials

Wenn alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, ist die Funktion stetig differenzierbar. Sind sie nicht stetig, kann keine Aussage über die Differenzierbarkeit getroffen werden.

Wenn die Funktion an kritischen Punkten oder stückweise definiert ist, kann die Definition der Richtungsableitung verwendet werden, um die Differenzierbarkeit zu demonstrieren:

Nach Überprüfung der Differenzierbarkeit kann das Differential wie folgt berechnet werden:

Kettenregel (Verhältnis)

Matrixmultiplikation: Multiplizieren Sie jede Zeile mit jeder Spalte und addieren Sie die Produkte:

Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix für die Funktion ist definiert als:

Tangentialebene für Funktionen von zwei Variablen

Gegeben sei eine Funktion . Ihre Tangentialebene hat die Form:

Die Gleichung der Tangentialebene lautet:

Extremwertberechnung bei Funktionen mehrerer Variablen

Extrema in einer offenen Menge

Finden Sie die kritischen Punkte durch Lösen des Gleichungssystems:

Erstellen Sie die Hesse-Matrix $H$ von :

Für die Lösungen (kritische Punkte) berechnen Sie die Determinante der Hesse-Matrix, ausgewertet an diesem Punkt . Dann gilt:
- Wenn die Determinante > 0 ist und (z.B. $f_{xx} > 0$), liegt ein lokales Minimum vor. Wenn $f_{xx} < 0$, liegt ein lokales Maximum vor.
- Wenn die Determinante < 0 ist, liegt ein Sattelpunkt vor.
- Wenn die Determinante = 0 ist, liefert das Kriterium keine Aussage.

Extrema unter Nebenbedingungen (Lagrange-Multiplikatoren)

Gegeben sei eine Funktion und eine Nebenbedingung (die Einschränkung).

Konstruieren Sie die Lagrange-Funktion:

Lösen Sie das System:

Wenn mehrere kritische Punkte gefunden werden, vergleichen Sie einfach den Wert der Funktion an jedem dieser Punkte. Andernfalls ist es notwendig, die Diskriminante der Form zu berechnen:

Wenn (Bedingung 1), liegt ein Minimum vor, wenn (Bedingung 2). Andernfalls kann keine Aussage getroffen werden.

Extrema in einer kompakten Menge (Abgeschlossen und beschränkt)

Finden Sie die kritischen Punkte im Inneren durch die Methode der offenen Mengen.
Untersuchung des Randes: Suchen Sie kritische Punkte auf dem Rand. Hierfür können Lagrange-Multiplikatoren oder Parametrisierung verwendet werden.
Vergleichen Sie den Wert der Funktion an allen kritischen Punkten im Inneren, auf dem Rand und an den Eckpunkten der Menge.

Satz über implizite Funktionen

Gegeben sei die Funktion in einer Umgebung von . Die Variable $z$ kann implizit als Funktion von $x$ und $y$ aufgelöst werden ( und ), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Die partiellen Ableitungen existieren und sind stetig in der Umgebung von .
(Nicht-Verschwinden der partiellen Ableitung). Wenn die Funktion zwei Koordinatenfunktionen hat, gilt:

Der Satz über implizite Funktionen besagt:

Es existieren offene Mengen , sodass und , sowie eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:

Satz über die inverse Funktion

Gegeben sei die Funktion und der Punkt .

Überprüfen Sie die Bedingung (Nicht-Verschwinden der Jacobi-Determinante):
Der Satz über die inverse Funktion besagt:

F ist in einer Umgebung von invertierbar und erfüllt:

Taylor-Polynom für Funktionen mehrerer Variablen

Gegeben sei die Funktion , die Ordnung $n$ ( ) und der Entwicklungspunkt .

Berechnung des Taylor-Polynoms:

Mehrfachintegration

Mehrfachintegrale haben die Form:

Integration über rechteckige Bereiche

Wenn der Integrationsbereich rechteckig ist ( ), dann gilt:

Integration über allgemeine Bereiche

Wenn der Integrationsbereich beschränkt und nicht leer ist und seine Grenzen durch Funktionen reeller Variablen ausgedrückt werden können, gilt nach dem Satz von Fubini:

Wobei

In vielen Fällen ist eine Variablentransformation notwendig, um das Integral zu berechnen. Zum Beispiel ist es bei kreisförmigen Bereichen ratsam, Polarkoordinaten zu verwenden.

Variablentransformation in Mehrfachintegralen

Zur Änderung der Koordinaten in einem Mehrfachintegral gilt die Transformationsformel:

In Polarkoordinaten ist die Funktionaldeterminante (Jacobi-Determinante) der Transformation immer .

Kurvenintegrale und Vektorfelder

Kurvenintegrale haben die Form:

Berechnung mittels Parametrisierung

Wenn die Kurve durch eine Parametrisierung gegeben ist, erfolgt die Integration entlang der Kurve in der Form:

Wobei . Wenn nur eine Koordinate hat, dann .

Wenn die Kurve ein Halbkreis ist, kann sie wie folgt parametrisiert werden:

Der Satz von Green

Gegeben sei ein Vektorfeld und ein offenes, beschränktes Gebiet (definiert durch ), dessen Rand eine differenzierbare, einfache, geschlossene Kurve ist. Dann gilt:

Dies ist ein Mehrfachintegral über den Bereich .

Der Divergenzsatz (Gaußscher Satz)

Gegeben sei ein offenes, beschränktes Gebiet D, dessen Rand eine einfache, geschlossene und differenzierbare Kurve ist. Es gilt:

Berechnen Sie die Divergenz von F:

Berechnen Sie das Mehrfachintegral über den Bereich D:

Prüfung, ob ein Vektorfeld konservativ ist

Ein Vektorfeld ist konservativ, wenn:

Wenn eine Funktion existiert, sodass , dann wird als Potentialfunktion von bezeichnet.

Differentialgleichungen (DGL)

DGL mit getrennten Variablen (separierbar)

Trennen Sie die Variablen, sodass auf einer Seite die von abhängigen Werte stehen und auf der anderen Seite die von abhängigen Werte.
Integrieren Sie beide Seiten und lösen Sie nach der Funktion auf.

Homogene DGL erster Ordnung

Die Gleichung hat die Form .

Überprüfen Sie, ob die Funktionen und homogen vom gleichen Grad sind:

Führen Sie die Substitution durch, wodurch die Gleichung separierbar wird.

Lineare DGL erster Ordnung

Die allgemeine Form ist:

Fall 1: Homogene Gleichung ( )

Dies ist die homogene lineare Gleichung, die separierbar ist. Die Lösung lautet:

Fall 2: Inhomogene Gleichung ( )

Wird durch die Methode der Variation der Konstanten gelöst. Die allgemeine Lösung lautet:

Methode der Variation der Konstanten

Suchen Sie die Lösung der homogenen Gleichung (Setzen Sie ):

Ersetzen Sie die Konstante $C$ der homogenen Lösung durch eine Funktion $C(x)$:

Berechnen Sie die Ableitung $y'(x)$:
Setzen Sie $y(x)$ und $y'(x)$ in die ursprüngliche Gleichung ( ) ein. Wenn die Rechnung korrekt ist, sollten sich Terme kürzen lassen ( ).
Lösen Sie nach $C'(x)$ auf ( ) und integrieren Sie, um $C(x)$ zu erhalten. Setzen Sie $C(x)$ in die Gleichung aus Schritt 2 ein.

Exakte Differentialgleichungen

Die DGL hat die Form:

Prüfen Sie die Exaktheitsbedingung:

Finden Sie eine Potentialfunktion $F(x, y)$ ( ), die und erfüllt. Integrieren Sie $M$ oder $N$ und suchen Sie die Integrationskonstante . Zum Beispiel:
- Die implizite Lösung lautet:

Integrierender Faktor (Eulerscher Multiplikator)

Wenn die DGL nicht exakt ist, kann sie durch Multiplikation mit einem integrierenden Faktor $\mu$ exakt gemacht werden, sodass gilt:

Angenommen, der integrierende Faktor hängt nur von $x$ ab ($\mu(x)$):

Lösen Sie die Differentialgleichung für $\mu(x)$:
Multiplizieren Sie die ursprüngliche Gleichung mit dem Faktor und lösen Sie die nun exakte Gleichung.

Mögliche Formen für den integrierenden Faktor: