Analytische Geometrie: Abstände, Winkel und Volumen
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Abstände in der Analytischen Geometrie
Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden
Der Abstand eines Punktes P zu einer Geraden r ist der kleinste Abstand von diesem Punkt zu allen Punkten auf der Geraden.
Dieser Abstand entspricht der Länge des Lots vom Punkt zur Geraden.
Abstand zwischen parallelen Geraden
Der Abstand von einer Geraden r, parallel zu einer anderen, s, ist der Abstand von jedem beliebigen Punkt der Geraden r zur Geraden s.
Abstand zwischen windschiefen Geraden
Der Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden wird mithilfe des gemeinsamen Lots gemessen.
Seien 
und 
die Richtungsvektoren der Geraden r und s.
Die Vektoren 
bestimmen einen Quader (Parallelepiped), dessen Höhe der Abstand zwischen den beiden Geraden ist.
Das Volumen eines Quaders ist 
.
Da das Volumen der absolute Wert des Spatprodukts (Kombination Produkt) der drei Vektoren ist und die Fläche der Basis das Vektorprodukt der Richtungsvektoren der Geraden ist, ist die Höhe, d. h. der Abstand zwischen den beiden Geraden, gleich:
Abstand von einem Punkt zu einer Ebene
Der Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E ist der kleinste Abstand von dem Punkt zu allen Punkten der Ebene.
Dies entspricht dem Abstand vom Punkt senkrecht zur Ebene.
Abstand zwischen parallelen Ebenen
Um den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen zu berechnen, bestimmt man den Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene zur anderen.
Sie können dies auch anders berechnen:
Winkel in der Analytischen Geometrie
Winkel zwischen zwei Geraden
Der Winkel zwischen zwei Geraden entspricht dem spitzen Winkel, der durch ihre Richtungsvektoren bestimmt wird.
Zwei Geraden sind senkrecht, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind.
Winkel zwischen zwei Ebenen
Der Winkel, der von zwei Ebenen gebildet wird, ist gleich dem spitzen Winkel, der durch ihre Normalenvektoren bestimmt wird.
Zwei Ebenen stehen senkrecht, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind.
Winkel zwischen Gerade und Ebene
Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ist gleich dem komplementären spitzen Winkel zur Vektorform des Richtungsvektors der Geraden und des Normalenvektors der Ebene.
Wenn die Gerade r senkrecht zur Ebene E steht, haben der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene die gleiche Richtung, und somit sind ihre Komponenten proportional.
Der Winkel, der von einer Geraden r und einer Ebene E gebildet wird, ist der Winkel, den r mit ihrer orthogonalen Projektion auf E, r', bildet.
Flächen und Volumen
Fläche eines Parallelogramms und Dreiecks
Der geometrische Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren entspricht der Fläche des Parallelogramms, dessen Seiten durch diese Vektoren aufgespannt werden. 
Volumen des Parallelepipeds (Spat)
Geometrisch stellt der absolute Wert des Spatprodukts (Produkt-Mix) das Volumen des Parallelepipeds (Quader/Spat) dar, dessen Kanten durch drei Vektoren aufgespannt werden, die von einem einzigen Scheitelpunkt ausgehen.
Volumen eines Tetraeders
Das Volumen eines Tetraeders entspricht einem Sechstel des Spatprodukts (Kombination Ware) im absoluten Wert.
