Analytische Geometrie: Lagebeziehungen, Abstände & Flächen

Geometrie: Parameterform → Koordinatenform

Parameterform → Koordinatenform: Berechne das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren → Ergebnis ist n (Normalenvektor). Das liefert die Ebenengleichung ohne den Parameter a. Durch Einsetzen des Aufpunkts der Ebene erhält man a.

Lagebeziehung Gerade – Gerade

Fall 1: Richtungsvektoren parallel (v ∥ u)

• Teste, ob der Aufpunkt P1 auf der anderen Gerade liegt.
• Fall 1a: P liegt auf h → Dann sind die Geraden identisch.
• Fall 1b: P liegt nicht auf h → Dann sind die Geraden echt parallel.

Fall 2: Richtungsvektoren nicht parallel

Dann beide Geradengleichungen gleichsetzen (3 Koordinaten).

• Fall 2a: Es gibt eine Lösung → Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
• Fall 2b: Keine Lösung → Die Geraden sind windschief.

Schnittpunkt Gerade–Gerade

Beide Geradengleichungen komplett gleichsetzen (drei Terme mit Parametern, z. B. λ und μ). Den erhaltenen Parameter in die entsprechende Geradengleichung einsetzen liefert den Schnittpunkt.

Lagebeziehung Gerade – Ebene

Berechne das Skalarprodukt n · v zwischen dem Normalenvektor der Ebene n und dem Richtungsvektor der Geraden v.

Fall 1: n · v ≠ 0

Dann schneiden sich die Gerade g und die Ebene E in genau einem Punkt.

Fall 2: n · v = 0

Teste, ob der Aufpunkt der Geraden in der Ebene liegt.

• Fall 2a: P liegt in E → Dann liegt g in E.
• Fall 2b: P liegt nicht in E → Dann sind g und E echt parallel.

Schnittpunkt Gerade–Ebene

Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter (z. B. λ). Beispiel: Für jede Koordinate die entsprechende Zeile der Geraden einsetzen. Den gefundenen Parameter in die Geradengleichung einsetzen liefert den Schnittpunkt.

Lagebeziehung Ebene – Ebene

Teste, ob die Normalenvektoren der Ebenen parallel sind.

Fall 1: n_E nicht parallel zu n_F

Dann schneiden sich E und F in einer Schnittgeraden.

Fall 2: n_E ∥ n_F

Überprüfe, ob die Koordinatengleichungen der Ebenen Vielfache voneinander sind.

• Fall 2a: Sind Vielfache → E und F sind identisch.
• Fall 2b: Kein Vielfaches → E und F sind echt parallel.

Schnittgerade Ebene–Ebene

Schreibe beide Gleichungen auf. Kombiniere die Terme so, dass eine Koordinate eliminiert wird. Ersetze eine zweite Koordinate durch einen Parameter (z. B. t). Die Lösungen des Gleichungssystems geben ganze Koordinatenzeilen der Geraden (z. B. x2 = 1 − 2t) → Stelle dann die Geradengleichung auf.

Abstand Punkt – Gerade

Erstelle eine Ebenengleichung, deren Normalenvektor der Richtungsvektor von g ist; dadurch erhält die Ebene einen Normalenvektor, der dem Richtungsvektor von g entspricht. Setze den Punkt P in die Ebenengleichung ein, um die Konstante a zu bestimmen → vollständige Ebenengleichung.

Setze die ganze Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und löse nach dem Parameter λ. Den gefundenen λ in die Geradengleichung einsetzen liefert den Schnittpunkt. Berechne dann den Abstand zwischen diesem Schnittpunkt und dem gegebenen Punkt P.

Abstand Punkt – Ebene

Formel:

d(P; E) = |n1·p1 + n2·p2 + n3·p3 − a| / √(n1² + n2² + n3²)

Lagebeziehung Kugel – Gerade

Sei K eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r. Weiter sei g eine Gerade. Ist d der Abstand des Mittelpunkts M zu g, dann gilt:

1. Ist r > d → g durchstößt die Kugel K (zwei Schnittpunkte).
2. Ist r = d → g berührt die Kugel K (ein Schnittpunkt, Tangente).
3. Ist r < d → g und K haben keine gemeinsamen Punkte.

Schnittpunkt Gerade – Kugel

Wandle die Geradengleichung in einen allgemeinen Punkt um (z. B. (−10 + 7t | 3 + t | 1 − t)). Berechne den Verbindungsvektor von M zu diesem Punkt. Setze die Länge dieses Verbindungsvektors gleich dem Radius → ergibt eine Gleichung für den Parameter (z. B. λ oder t). Die gefundenen Werte in die Geradengleichung einsetzen liefert die Schnittpunkte.

Spiegelpunkt P an Ebene E

Stelle eine Hilfsgerade auf, die den Punkt als Aufpunkt und n_E als Richtungsvektor hat. Setze diese Geradengleichung in die Ebenengleichung ein → löse nach dem Parameter. Diesen in die Geradengleichung eingesetzt liefert den Lotfußpunkt L. Spiegelpunkt = ursprünglicher Punkt P + 2 · Verbindungsvektor PL. Ausrechnen ergibt den Spiegelpunkt.

Flächeninhalte

• Parallelogramm = |g × h|
• Trapez = 0,5 · h · (a + c)
• Dreieck = 0,5 · g · h

Volumina