Astronomische Weltbilder und Grundlagen der Hydrostatik
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Geozentrische Theorie
Aristoteles
Aristoteles vertrat folgende Annahmen:
- Die Erde war rund, unbeweglich und befand sich im Zentrum einer Sphäre, die die Fixsterne beherbergte.
- Die Planeten und Sterne bewegten sich in Sphären auf Kreisbahnen um die Erde.
Ptolemäus
Ptolemäus erweiterte die Theorie des Aristoteles. Die ptolemäische Theorie basierte auf Kreisbahnen, ergänzt durch exzentrische Bahnen und Epizykel, um die Bewegung der Planeten zu erklären. Er ging weiterhin davon aus, dass die Erde der Mittelpunkt des Universums sei.
Heliozentrische Theorie
Kopernikus und Galileo
Nikolaus Kopernikus formulierte die heliozentrische Theorie bereits im 16. Jahrhundert, veröffentlichte sie aber erst spät. Galileo Galilei konnte diese Theorie später mit Hilfe seines selbstgebauten Teleskops stützen. Die heliozentrische Theorie besagt:
- Die Sonne befindet sich im Zentrum des Universums.
- Der Mond dreht sich um die Erde.
- Die Planeten umkreisen die Sonne auf elliptischen Bahnen.
- Die Erde hat zwei Bewegungen: eine Drehung um sich selbst (Rotation) und eine Bewegung um die Sonne (Translation).
Keplersche Gesetze
Erstes Keplersches Gesetz (Ellipsenbahnen)
Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz)
Der Fahrstrahl (die Verbindungslinie zwischen Sonne und Planet) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit der Planeten in Sonnennähe größer ist als in Sonnenferne.
Drittes Keplersches Gesetz
Die Quadrate der Umlaufzeiten (Perioden) zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben (dritten Potenzen) ihrer großen Halbachsen (mittleren Abstände zur Sonne). Formel: (T₁/T₂)² = (a₁/a₂)³
Hydrostatischer Druck
Der Druck (P) ist die Kraft (F), die senkrecht auf eine Flächeneinheit (S) ausgeübt wird. Er wird in Pascal (Pa) gemessen, was Newton pro Quadratmeter (N/m2) entspricht.
Formel: P = F / S
Herleitung des hydrostatischen Drucks (P = ρ · g · h)
Die Formel für den hydrostatischen Druck P = ρ · g · h (wobei P = Druck, ρ = Dichte der Flüssigkeit, g = Erdbeschleunigung, h = Höhe der Flüssigkeitssäule) kann wie folgt hergeleitet werden:
- Definition der Dichte (ρ): ρ = m / V => m = ρ · V (Masse = Dichte mal Volumen)
- Volumen einer Flüssigkeitssäule (V): V = S · h (Volumen = Grundfläche S mal Höhe h)
- Masse der Flüssigkeitssäule (mFlüssigkeit): mFlüssigkeit = ρFlüssigkeit · S · h
- Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule (F): F = mFlüssigkeit · g = ρFlüssigkeit · S · h · g (Kraft = Masse mal Erdbeschleunigung g)
- Druck (P): P = F / S (Druck = Kraft pro Fläche S)
- Einsetzen von F: P = (ρFlüssigkeit · S · h · g) / S
- Kürzen der Fläche S: P = ρFlüssigkeit · g · h
Hydrostatisches Grundgesetz
Der hydrostatische Druck hängt nur von der Dichte der Flüssigkeit (ρ) und der Tiefe (h) ab, nicht von der Form des Gefäßes (hydrostatisches Paradoxon).
Für zwei Punkte in unterschiedlichen Tiefen h1 und h2 in derselben ruhenden Flüssigkeit gilt:
- P1 = ρ · g · h1 (Druck in Tiefe h1)
- P2 = ρ · g · h2 (Druck in Tiefe h2)
Die Druckdifferenz ΔP ist:
ΔP = P2 - P1 = ρ · g · (h2 - h1) = ρ · g · Δh
Auftrieb und Schwimmen
Das Verhalten eines Körpers in einer Flüssigkeit wird durch das Verhältnis seiner Gewichtskraft (GKörper) zur Auftriebskraft (FA), die dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit entspricht (siehe Archimedisches Prinzip), bestimmt:
- Wenn GKörper > FA: Der Körper sinkt. (Dies tritt auf, wenn die Dichte des Körpers ρKörper > Dichte der Flüssigkeit ρFlüssigkeit)
- Wenn GKörper = FA: Der Körper schwebt. (Dies tritt auf, wenn ρKörper = ρFlüssigkeit)
- Wenn GKörper < FA: Der Körper schwimmt oder steigt auf. (Dies tritt auf, wenn ρKörper < ρFlüssigkeit)
Archimedisches Prinzip
Das Archimedische Prinzip besagt, dass ein Körper, der ganz oder teilweise in eine ruhende Flüssigkeit (oder ein Gas) eingetaucht ist, eine nach oben gerichtete Auftriebskraft (FA) erfährt. Diese Auftriebskraft ist gleich dem Gewicht der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge (oder Gasmenge).
Formel: FA = ρFlüssigkeit · Vverdrängt · g
Pascalsches Prinzip (Gesetz von Pascal)
Das Pascalsche Prinzip besagt, dass sich der Druck in einer idealen (reibungsfreien und inkompressiblen) Flüssigkeit, die sich in einem geschlossenen System im Gleichgewicht befindet, allseitig und gleichmäßig in alle Richtungen ausbreitet und senkrecht auf alle Grenzflächen wirkt.
Eine wichtige Anwendung ist die hydraulische Presse:
Grundformel für den Druck: P = F / S (Druck = Kraft pro Fläche)
In einer hydraulischen Anlage gilt für zwei verbundene Kolben: P1 = P2
Daher: F1 / S1 = F2 / S2
Daraus folgt für die Kraft am zweiten Kolben: F2 = F1 · (S2 / S1)
Mit einer kleinen Kraft F1 auf eine kleine Fläche S1 kann eine große Kraft F2 auf eine große Fläche S2 erzeugt werden.