Chaos-Theorie: Definitionen, Beispiele und Anwendungen

CAOS

Nach der RAE:

1. Amorpher und undefinierter Zustand, der dem Kosmos vor der Organisation zugeschrieben wird.

2. Verwirrung, Unordnung.

3. Fís.yMat. Verhalten, das scheinbar sprunghaft und unberechenbar in einigen dynamischen Systemen ist, obwohl ihre mathematische Formulierung zunächst deterministisch ist.

WAS IST die Chaos-Theorie?

Es ist eine integrierte Auswertung der nichtlinearen Dynamik, Thermodynamik im Ungleichgewicht, Informationstheorie und der fraktalen Geometrie.

Die folgenden Analyse-Systeme sind als nichtlinear, Nicht-Gleichgewichts-Systeme, deterministisch, dynamisch und zufällig anzusehen, so dass sie empfindlich auf die Anfangsbedingungen reagieren und seltsame Attraktoren aufweisen. Man sagt, sie sind chaotisch.

Bsp. Stephen Hawking sagt, wenn das Universum eine Dichte gehabt hätte, die ein Teil von einer Billion größer wäre, eine Sekunde nach dem Urknall, wäre das Universum 10 Jahre später kollabiert.

- Im Gegenteil, wenn das Universum die umgekehrten Bedingungen gehabt hätte, wäre es nach 10 Jahren leer gewesen.

Üblicherweise nehmen wir Chaos als eine Art Verwirrung oder Desorganisation wahr.

- Wissenschaftlich impliziert Chaos die Existenz von unvorhersehbaren oder zufälligen Aspekten in dynamischen Fragen, was nicht notwendigerweise schlecht oder unerwünscht ist.

CHAOS BEISPIEL

Xt = Axt-1 * (1-X-1)

Definition von Chaos

Chaos ist eine komplizierte Menge aus Ordnung und Unordnung, Regelmäßigkeit und Unregelmäßigkeit, Verhaltensmustern, die unregelmäßig, aber dennoch als breite Verhaltenskategorien oder Archetypen erkennbar sind, in denen eine unendliche individuelle Vielfalt existiert. (Parker & Stacey, 1994)

Gleichgewicht und Nicht-Gleichgewicht

- Zustand eines Körpers, wenn entgegengesetzte Kräfte, die auf ihn wirken, sich gegenseitig kompensieren und zerstören. (RAE)

Beispiele:

- Heizer

- Dusche

Mathematisch gesprochen:

Mikrogleichgewicht: Die kleinste Komponente ist im Gleichgewicht.

Makro-Gleichgewicht: Das Gleichgewicht wird in aggregierter Weise bewertet.

Gesamtbilanz: Es ist, als ob eine Gruppe von Systemen miteinander im Gleichgewicht steht.

Lokales Gleichgewicht: Einige Teile des Systems sind im Gleichgewicht.

Stabilität und Instabilität

Gleichgewicht und Stabilität sind Zwillingskonzepte. Instabilität kann in allen Arten von Strukturen auftreten: fest, flüssig, lebendig, träge und institutionell.

- Störungen können dazu führen, dass ein stabiles System instabil wird.

- Oft sind mehr als eine Störung erforderlich, damit ein stabiles System instabil wird, daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Störungen konvergieren, sehr wichtig.

Parameter zur Bewertung des GLEICHGEWICHTS

"Es ist wünschenswert, zu bewerten, zu wissen, was ein System dem Gleichgewicht annähert.

"Wenn > 1 ist, was passiert?

"Wenn < 1 ist, was passiert?

EINIGE chaotische Systeme

• Bewegung der tektonischen Platten
• Fluide Turbulenz
• Tropfen von einem Wasserhahn
• Wetter
• Bevölkerungswachstum
• Magnetfeld
• Medizin
• Herztätigkeit
• Wirtschaft
• Astronomie

Parameter zur Bewertung des GLEICHGEWICHTS

"Es ist wünschenswert, zu bewerten, zu wissen, was ein System dem Gleichgewicht annähert.

"Wenn > 1 ist, was passiert?

"Wenn < 1 ist, was passiert?

PHASENRAUM

"Wir verwenden Dimensionen, um die Plätze zwei und drei darzustellen.

"Das ist nicht wahr, wenn die Systeme dynamisch sind.

- X, Y, Z sind Zustandsvariablen

Räume - Ableitungen, die durch Zustandsvariablen geprägt sind, und ihre Räume werden Phasen genannt.

PHASENRAUM

- Angenommen, ein Phänomen wird dargestellt durch

Folgende Gleichungen

- Phasendiagramm

PHASENRAUM

"Beschreibt ein sich bewegender Punkt eine geschlossene Kurve? Bleiben Sie in einer beliebigen Position im Flugzeug? Mit anderen Worten, in der Sprache der Astronomie gesprochen, müssen wir uns fragen, ob die Bahn des Punktes stabil oder instabil ist.

Poincaré, Henry (Vater der Theorie der Dynamischen Systeme)

ATTRAKTOREN

"Was sind Attraktoren?

"Dynamische Systeme sind wie Insekten, die von Attraktoren angezogen werden und nachts vom Licht angezogen werden.

FIXPUNKT-ATTRAKTOREN

* Wie wird sein Phasendiagramm aussehen, Geschwindigkeit vs. Position X?

FIXPUNKT-ATTRAKTOREN

* Der Fixpunkt-Attraktor ist nicht empfindlich gegenüber den Anfangsbedingungen.

* Da die Empfindlichkeit gegenüber den Anfangsbedingungen ein Indikator für Chaos ist, kann man schlussfolgern, dass es kein Chaos gibt, wenn man einen Fixpunkt-Attraktor hat.

Wie wird sein Phasendiagramm aussehen, Geschwindigkeit vs. Position in X, wenn es keine Verluste gäbe?

Hängt in diesem zweiten Beispiel das Ergebnis von den Anfangsbedingungen ab, aber ist das Chaos?