Dienes' Phasen und Van Hiele Modell: Grundlagen des mathematischen Lernens

Dienes' Phasen des Lernens (Abstraktion & Verallgemeinerung)

Der Lernprozess ist ein Prozess der Abstraktion, Verallgemeinerung und Kommunikation. Dienes identifizierte sechs verschiedene Phasen dieses Abstraktionsprozesses:

1. Stufe 1: Freies Spiel (Game Free) – Das Individuum steht im Mittelpunkt.
2. Stufe 2: Strukturierte Spiele – Überprüfung, Manipulation und Erhalt von Regeln.
3. Stufe 3: Bekanntwerden – Erkennen der gemeinsamen Struktur durch Spiele.
4. Stufe 4: Repräsentative Phase – Grafische oder schematische Darstellung der gemeinsamen Struktur.
5. Stufe 5: Symbolische Phase – Untersuchung der Eigenschaften der abstrakten Struktur, was die Notwendigkeit impliziert, eine Sprache zu erfinden.
6. Stufe 6: Formale Phase – Der Bau von Axiomen und Sätzen.

Dienes' pädagogischer Ansatz zielt darauf ab, die Behandlung eines formalen Systems zu erreichen, wobei stets von der Wirklichkeit ausgegangen wird.

Das Van Hiele Modell in der Geometrie

Das Van Hiele Modell charakterisiert Mathematik als eine Tätigkeit und den Lernprozess als einen Prozess der Neuerfindung. Es formuliert eine Hierarchie von Ebenen, die einen geordneten Übergang im Geometrieunterricht erleichtern. Das Modell beschreibt den induktiven Lernprozess und schlägt 5 Stufen des geometrischen Wissens vor:

Level 0: Visualisierung

• Eine geometrische Figur wird als Ganzes gesehen, ohne Berücksichtigung ihrer Komponenten oder Attribute.
• Ein Schüler auf dieser Ebene kann geometrische Vokabeln lernen, bestimmte Formen identifizieren und diese nachspielen.

Level 1: Analyse

• Der Schüler analysiert informell die Eigenschaften von Figuren, gesammelt durch Beobachtung und Experimentieren.
• Der Schüler ist in der Lage, Beziehungen zwischen Eigenschaften und Figuren zu sehen sowie Definitionen zu entwickeln oder zu verstehen.

Level 2: Informelles Ableiten (Koordination)

• Der Schüler ordnet die Eigenschaften der Konzepte logisch.
• Er beginnt, abstrakte Definitionen zu konstruieren.
• Er kann informelle Argumente führen.
• Wichtig: Er versteht die Bedeutung des Ableitens und die Rolle der Axiome noch nicht.

Level 3: Formales Ableiten

Auf dieser Ebene kann der Schüler Beweise konstruieren, nicht nur auswendig lernen.

Level 4: Strenge (Rigor)

• Die Schüler können verschiedene Systeme auf axiomatischer Basis vergleichen.
• Sie können verschiedene Geometrien erforschen, auch in Ermangelung konkreter Modelle.

Hinweis: Diese Stufe ist für Gymnasiasten praktisch nicht erreichbar.

Methodische Aspekte und logische Grundlagen

Die Van Hieles betonen, dass nur die Einhaltung der Hierarchie der Ebenen ein korrektes Lernen ermöglicht.

Wichtige methodische Aspekte:

• Studenten durchlaufen die Levels in der aufgeführten Reihenfolge.
• Wird eine Ebene nicht ausreichend etabliert, bevor die nächste unterrichtet wird, arbeiten die Studenten nur auf der höchsten, d.h. algorithmischen, Ebene.

1. Die logischen Operationen

Die relevanten logischen Operationen in diesem Bereich sind:

• Komparation
• Reflexion
• Abstraktion
• Generalisierung
• Synthese
• Zonierung / Planung

Die ersten vier Operationen führen uns zur mathematischen Formalisierung.

Rangordnung und Klassifizierung

Die Operation Rangordnung ist wesentlich, damit das Kleinkind beginnt, seine Mentalität richtig zu strukturieren und sein Denken für später zu organisieren. Klassifizierung ist die Organisation nach einem bestimmten Informationskriterium. Durch die Klassifizierung lernt das Kind, die Organisation von Sammlungen physischer Objekte in Bezug auf ihre Eigenschaften zu analysieren und zu verstehen, welche neuen Objekte zu dieser Sammlung gehören und welche nicht.

Attribute auf Kinderebene sind physikalische Eigenschaften. Es sind daher zahlreiche Aktivitäten zur Beschreibung von Objekten anhand ihrer physikalischen Eigenschaften erforderlich, um Objekte nach einem bestimmten Attribut zu sortieren.

Beispiel: Eine Sortieraktivität kann mit 3 Jahren beginnen, basierend auf der Geschichte von „Tommy die Türkei“.

2. Sammlungen (Mengen)

Definierte Sammlungen beginnen mit der Bildung eines gemeinsamen Attributs. Es geht darum, die Elemente zu beschreiben, aus denen sich die Sammlung zusammensetzt. Eine weitere Übung besteht darin, für eine gegebene Sammlung das definierende und charakterisierende Attribut zu finden. Schwierigere Übungen beinhalten Sammlungen mit mehr als einem Attribut.

3. Verwaltung von Sammlungen und Qualitätskriterien

Dieses Management bezieht sich auf die Anwendung von Qualitätskriterien bei der Handhabung von Sammlungen.

4. Logische Quantoren

Die Arbeit mit logischen Quantoren erfolgt im Unterricht durch richtig konzipierte Maßnahmen. Der Fokus liegt auf der Bedeutung und Verwendung der Quantoren ODER, UND, NICHT.