Drehimpuls, Keplersche Gesetze und Gravitation: Physikalische Grundlagen

Drehimpuls eines Teilchens

Der Drehimpuls eines Teilchens um einen Punkt O ist das Vektorprodukt aus dem Ortsvektor $\mathbf{r}$ in Bezug auf diesen Punkt und dem Impuls $\mathbf{p}$: $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$. Da $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ (wobei $m$ die Masse und $\mathbf{v}$ die Geschwindigkeit des Teilchens ist), kann dies als $\mathbf{L} = m(\mathbf{r} \times \mathbf{v})$ umgeschrieben werden.

Der Drehimpuls wird im SI-System in $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$ gemessen. $\mathbf{L}$ ist ein Vektor. Seine Größe ist gegeben durch $L = mrv \sin(\alpha)$, wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $\mathbf{r}$ und $\mathbf{v}$ ist. Wenn $\mathbf{r}$ und $\mathbf{v}$ parallel sind, ist $L = 0$. Der Drehimpuls charakterisiert die Rotation eines Teilchens.

Zeitliche Änderung des Drehimpulses

Die zeitliche Änderung ist gegeben durch:

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{v} \times \mathbf{p} + \mathbf{r} \times \mathbf{F}$$

Da $\mathbf{v} \times \mathbf{p} = \mathbf{v} \times (m\mathbf{v}) = 0$, vereinfacht sich dies zu:

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{M}$$

Wobei $\mathbf{M}$ das Drehmoment ist, definiert als das Vektorprodukt aus $\mathbf{r}$ und $\mathbf{F}$. Dieses Ergebnis ist fundamental für das Studium von Rotationen: Seine physikalische Bedeutung ist, dass $\mathbf{M}$ die Tendenz hat, die Richtung von $\mathbf{L}$ zu ändern.

Satz von der Erhaltung des Drehimpulses

Wenn die zeitliche Änderung des Netto-Drehimpulses eines Teilchens Null ist ($\frac{d\mathbf{L}}{dt} = 0$), wird $\mathbf{L}$ konserviert. Dies geschieht, wenn die resultierende Kraft $\mathbf{F} = 0$ ist oder wenn die Kraft parallel zum Ortsvektor $\mathbf{r}$ wirkt, wie im Falle von Zentralkräften.

Keplersche Gesetze

Empirische Gesetze, die Kepler im 17. Jahrhundert formulierte, um die Bewegung der Planeten um die Sonne zu beschreiben:

1. Gesetz der Bahnen

Die Planeten beschreiben elliptische Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2. Gesetz der Flächen

Der Ortsvektor von der Sonne zu einem Planeten überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten. Dies impliziert, dass die Bahngeschwindigkeit $v$ nicht konstant ist. Das bedeutet, dass die lineare Geschwindigkeit $v$ bei den Planeten, die der Sonne nächster sind, größer ist. Dieses Gesetz ist die konservative Entsprechung der Erhaltung des Drehimpulses $\mathbf{L}$ des Planeten um die Sonne.

3. Gesetz der Zeiten

Die Quadrate der Umlaufzeiten ($T^2$) sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen ($a^3$) der Planetenbahnen ($T^2 \propto a^3$). Die lineare Geschwindigkeit der Planeten ist nicht konstant, sondern hängt vom Bahnradius ab; ein Planet dreht sich schneller, wenn sein Radius kleiner ist. Diese Gesetze wurden später von Newton mathematisch bewiesen.

Gesetz der universellen Gravitation

Dieses Gesetz wurde von Newton im 17. Jahrhundert formuliert und ermöglichte es, die damals bekannte Schwerkraft zu erklären. Das Gesetz besagt: Jeder Körper im Universum zieht jeden anderen Körper mit einer Zentralkraft an, die proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist.

Die Formel lautet:

$$\mathbf{F} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \mathbf{u}_r$$

Wobei $F$ die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern der Massen $m_1$ und $m_2$ ist, $r$ der Abstand zwischen ihnen und $\mathbf{u}_r$ der Einheitsvektor, der von dem Körper, der die Kraft ausübt, zu dem Körper zeigt, der die Kraft erfährt. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Kraft anziehend ist. $G$ ist die universelle Gravitationskonstante, experimentell gemessen mit dem Wert $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Nm}^2/\text{kg}^2$.

Die Gleichung der Gravitationskraft gilt auch für die Wechselwirkung zwischen zwei Massen. Somit ist die Kraft der Erde auf den Mond gleich der Kraft auf die Erde, aber in die entgegengesetzte Richtung. Wenn ein System aus mehreren Teilchen besteht, ist die resultierende Kraft $\mathbf{F}$ auf jedes Teilchen die Vektorsumme der Kräfte, die von den übrigen Teilchen ausgeübt werden.

Potenzielle Energie der Gravitation

Die Gravitationskraft ist konservativ und besitzt eine zugehörige potentielle Energie-Funktion, sodass die von der Kraft zwischen zwei Punkten verrichtete Arbeit gleich der Abnahme dieser potentiellen Energie ist.

Daraus ergibt sich, dass die potentielle Energie $E_p$ eines Teilchens der Masse $m$ in einem Abstand $r$ von einer anderen Masse $M$, wobei $E_p = 0$ im Unendlichen gesetzt wird, gegeben ist durch:

$$E_p = -G \frac{Mm}{r}$$

Energie ist eine skalare Größe, deren SI-Einheit das Joule (J) ist.

Bei einem System, das aus mehr als zwei Massen besteht, ist die potentielle Energie des Systems die Summe der potentiellen Energien aller verschiedenen Paare von Massen.

Aufgrund der Gravitationskraft neigen Körper spontan dazu, in Bereiche mit niedrigerer potentieller Energie zu fallen.

Gravitationskraft in der Nähe der Erdoberfläche

In der Nähe der Erdoberfläche wird die Gravitationskraft auf einen Körper der Masse $m$ oft als Gewichtskraft ausgedrückt: $\mathbf{F} = -mg \mathbf{j}$, wobei $\mathbf{j}$ der Einheitsvektor in vertikaler Richtung ist.

Die Werte von $g$ in der Nähe der Erde sind annähernd konstant. Die Arbeit $W_{AB}$, die die Gewichtskraft verrichtet, wenn der Körper um eine vertikale Strecke von Punkt A nach B verschoben wird, ist $W_{AB} = mgh_A - mgh_B$. Daraus ergibt sich, dass die potentielle Energie an einem Punkt der Höhe $h$ ist:

$$E_p = mgh$$

Hierbei wurde die potentielle Energie an der Bezugshöhe $h=0$ als Null gewählt.