Dreiecke: Klassifizierung und Eigenschaften
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Klassifizierung von Dreiecken
| Nach Seiten | Nach Winkeln |
|---|---|
| Gleichseitig: Alle drei Seiten sind gleich lang. | Spitzwinklig: Alle drei Winkel sind spitz (kleiner als 90°). |
| Gleichschenklig: Zwei Seiten sind gleich lang. | Stumpfwinklig: Ein Winkel ist stumpf (größer als 90°). |
| Ungleichseitig: Alle drei Seiten sind unterschiedlich lang. | Rechtwinklig: Ein Winkel ist ein rechter Winkel (90°). |
Merkmale und bemerkenswerte Punkte in Dreiecken
- Höhe: Eine Strecke, die senkrecht von einer Seite zu dem gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft.
- Höhenschnittpunkt: Der Schnittpunkt der drei Höhen eines Dreiecks.
- Mittelsenkrechte: Eine Strecke, die senkrecht auf einer Seite in deren Mittelpunkt steht.
- Umkreismittelpunkt: Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks.
- Seitenhalbierende: Eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.
- Schwerpunkt: Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks.
- Winkelhalbierende: Eine Strecke, die einen Winkel in zwei gleiche Teile teilt.
- Inkreis: Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks.
Elemente des rechtwinkligen Dreiecks
- Katheten: Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen.
- Hypotenuse: Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (längste Seite).
Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks
- Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden spitzen Winkel 90° (komplementäre Winkel).
- Die Katheten sind gleichzeitig Höhen. Der Höhenschnittpunkt fällt mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels zusammen.
- Satz des Pythagoras: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Katheten.
- Der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt der Hypotenuse.
Euler-Gerade
Der Höhenschnittpunkt, der Schwerpunkt und der Umkreismittelpunkt eines beliebigen Dreiecks liegen immer auf derselben Geraden, der Euler-Geraden. Bei einem gleichschenkligen Dreieck liegt auch der Inkreismittelpunkt auf dieser Geraden.
Kreis und Kreisfläche
- Kreis: Die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt) den gleichen Abstand haben.
- Kreisfläche: Die Fläche, die von einem Kreis umschlossen wird.
- Radius: Der Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis.
- Kreisbogen: Ein Teil des Kreisumfangs.
- Sehne: Eine Strecke, die zwei Punkte auf dem Kreis verbindet.
- Durchmesser: Eine Sehne, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft (doppelt so lang wie der Radius).
- Halbkreis: Ein Kreisbogen, der durch den Durchmesser bestimmt wird.
- Halbkreisfläche: Die Fläche, die von einem Halbkreis und dem Durchmesser begrenzt wird.
Teile der Kreisfläche
- Kreissektor: Teil der Kreisfläche, der von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Bogen begrenzt wird.
- Kreissegment: Teil der Kreisfläche, der von einer Sehne und ihrem zugehörigen Bogen begrenzt wird.