Dreieckssätze: Thales, Pythagoras, Höhe, Kathete & Klassifizierung

1. Der Satz des Thales

Der Satz des Thales gilt für ähnliche geometrische Figuren, obwohl wir uns in diesem Thema auf Dreiecke konzentrieren. Er besagt, dass eine Gerade, die parallel zu einer Seite eines Dreiecks gezogen wird, das Dreieck in proportionale Teile teilt und ein kleineres, dem ursprünglichen Dreieck ähnliches Dreieck erzeugt.

Das bedeutet, dass durch das Ziehen von parallelen Linien zu einer Seite eines Dreiecks ähnliche Dreiecke entstehen.

Angenommen, wir haben ein Dreieck ABC. Wenn wir ein Segment MN parallel zu einer Seite (z.B. BC) ziehen, erhalten wir ein Dreieck AMN, das dem Dreieck ABC ähnlich ist. Ebenso, wenn wir ein Segment PQ ziehen, erhalten wir ein Dreieck APQ, das ABC ähnlich ist.

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• Die Dreiecke haben proportionale Seiten (SSS-Ähnlichkeit).
• Die Dreiecke haben zwei gleiche Winkel (AA-Ähnlichkeit), woraus folgt, dass alle drei Winkel gleich sind.
• Die Dreiecke haben einen gleichen Winkel, und die Seiten, die diesen Winkel einschließen, sind proportional (SAS-Ähnlichkeit).

Der Satz des Thales kann mathematisch ausgedrückt werden, indem die Verhältnisse der entsprechenden Seiten ähnlicher Dreiecke gleichgesetzt werden. Wenn beispielsweise Dreieck ABC ähnlich zu Dreieck A'B'C' ist, dann gilt:

a/a' = b/b' = c/c'

Dabei sind a, b, c die Seitenlängen des ersten Dreiecks und a', b', c' die entsprechenden Seitenlängen des ähnlichen Dreiecks. Die Winkel A, B und C sind jeweils identisch mit den Winkeln A', B' und C'.

2. Der Satz des Pythagoras

Dieser Satz ist nur für rechtwinklige Dreiecke gültig. Ein rechtwinkliges Dreieck besteht aus:

• Zwei Katheten: Dies sind die beiden kürzeren Seiten, die den rechten Winkel (90°) bilden.
• Einer Hypotenuse: Dies ist die längste Seite des Dreiecks und liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden Katheten immer gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Seine mathematische Aussage lautet:

a² + b² = c²

Dabei sind a und b die Längen der Katheten und c die Länge der Hypotenuse.

3. Höhensatz und Kathetensatz

Diese beiden Sätze sind ebenfalls nur für rechtwinklige Dreiecke gültig.

In einem rechtwinkligen Dreieck, bei dem die Höhe h auf die Hypotenuse c die Hypotenuse in zwei Abschnitte m und n teilt (wobei m die Projektion der Kathete a und n die Projektion der Kathete b auf die Hypotenuse ist), lauten die mathematischen Ausdrücke wie folgt:

Höhensatz (Euklidischer Höhensatz)

Der Höhensatz besagt, dass das Quadrat der Höhe auf die Hypotenuse gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte ist:

h² = m * n

Kathetensatz (Euklidischer Kathetensatz)

Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt aus der gesamten Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt ist:

a² = c * m

b² = c * n

4. Klassifizierung von Dreiecken

Nach Seitenlängen:

• Gleichseitige Dreiecke: Alle drei Seiten sind gleich lang.
• Gleichschenklige Dreiecke: Zwei Seiten sind gleich lang.
• Ungleichseitige Dreiecke (Skalene): Keine Seite ist gleich lang.

Nach Winkelgrößen:

• Spitzwinklige Dreiecke: Alle Winkel sind kleiner als 90 Grad.
• Rechtwinklige Dreiecke: Ein Winkel beträgt genau 90 Grad.
• Stumpfwinklige Dreiecke: Ein Winkel ist größer als 90 Grad.