Druck in Flüssigkeiten: Definition, Eigenschaften und Einheiten

Druck: Definition und mathematische Grundlagen

Der Druck wird als Kraft pro Flächeneinheit definiert.

Um den Druck an einer beliebigen Stelle innerhalb einer Flüssigkeit zu definieren, betrachten wir ein infinitesimales Volumenelement.

Definition des Drucks an einem Punkt

Wir betrachten eine elementare Fläche $\Delta S$ um den betrachteten Punkt und die darauf ausgeübte Kraft $\Delta F$. Der durchschnittliche Druck $P$ ist definiert als:

$$P = \frac{\Delta F}{\Delta S}$$

Der Druck an einem spezifischen Punkt wird erhalten, indem $\Delta S$ gegen Null geht:

$$P = \lim_{\Delta S \to 0} \left( \frac{\Delta F}{\Delta S} \right) = \frac{dF}{dS}$$

Auf diese Weise definieren wir den Druck innerhalb der Flüssigkeit.

Eigenschaften des Drucks in ruhenden Flüssigkeiten (Hydrostatik)

1. Pascalsches Prinzip: Druck ist isotrop (Skalar)

Der Druck an einem Punkt in einer ruhenden Flüssigkeit ist in allen Dimensionen gleich, d.h., er ist eine skalare Größe.

Beweisidee: Betrachten wir ein infinitesimales Keilelement der Flüssigkeit im Gleichgewicht. Angenommen, der Druck wäre in verschiedenen Richtungen $P$ und $P'$ unterschiedlich, so gilt im Ruhezustand:

$$P dS = P' dS' \cos(\theta)$$

Da die Projektion der Fläche $dS$ gleich $dS' \cos(\theta)$ ist, folgt $P = P'$. Der Druck ist somit unabhängig von der Richtung.

2. Druck auf gleicher horizontaler Ebene

Der Druck ist an allen Punkten in der gleichen horizontalen Ebene innerhalb einer ruhenden Flüssigkeit gleich.

Begründung: Um im Gleichgewicht zu sein, müssen die Druckkräfte auf zwei elementare Oberflächen $dS$ und $dS'$ auf gleicher Höhe gleich sein:

$$P dS = P' dS \implies P = P'$$

3. Normale Druckkraft auf Grenzflächen

In einer ruhenden Flüssigkeit wird die Kraft, die die Flüssigkeit auf eine Grenzfläche ausübt, immer normal zu dieser Grenzfläche gerichtet sein.

Begründung: Würde die Kraft eine tangentiale Komponente besitzen, würde diese eine Bewegung (Scherung) in der Flüssigkeit verursachen. Da die Flüssigkeit ruht, existieren nur Normalkräfte (Druckkräfte).

4. Richtung der Druckkraft

Die Druckkraft in einer ruhenden Flüssigkeit ist immer in die Flüssigkeit hinein gerichtet (da Flüssigkeiten keine Zugkräfte übertragen können).

5. Horizontale freie Oberfläche

Die freie Oberfläche einer Flüssigkeit in Ruhe ist horizontal.

Begründung: Wäre die Oberfläche nicht horizontal, würde die horizontale Komponente der Schwerkraft die Flüssigkeit in Bewegung setzen, bis das hydrostatische Gleichgewicht erreicht ist.

Gleichgewichtszustände von Flüssigkeiten

Hinweis zum Gleichgewicht:

• Absolutes Gleichgewicht: Die Flüssigkeit ruht in einem Behälter, der ebenfalls in Ruhe ist.
• Relatives Gleichgewicht: Der Behälter bewegt sich mit konstanter Beschleunigung oder rotiert.

Druckeinheiten und Umrechnung

Einheiten

Die Dimension des Drucks ist Kraft pro Fläche:

$$[P] = \frac{F}{L^2}$$

• Internationales System (SI): Newton pro Quadratmeter ($ ext{N}/ ext{m}^2$), genannt Pascal ($ ext{Pa}$).
• CGS-System: Dyn pro Quadratzentimeter ($ ext{dyn}/ ext{cm}^2$), genannt Barye ($ ext{Ba}$).

Wichtige Umrechnungen

• Bar: $1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}$
• Atmosphäre ($ ext{atm}$): Definiert als der Druck, den eine Quecksilbersäule ($ ext{Hg}$) von $76 \text{ cm}$ Höhe ausübt.

Die Berechnung des atmosphärischen Drucks erfolgt über die hydrostatische Druckformel $P = \rho g h$:

$$1 \text{ atm} \approx 1,013 \cdot 10^6 \text{ Barye}$$

Umrechnung in SI-Einheiten:

$$1 \text{ atm} \approx 101.325 \text{ Pa} \approx 1,013 \text{ bar}$$