Eigenschaften von Summen: Ein umfassender Leitfaden

Eigenschaften von Summen

Zusammenfassung

Einleitung

Die Untersuchung von Naturphänomenen und gesellschaftlichen Prozessen führt zur Entwicklung von Modellen zur Beschreibung und Vorhersage ihres Verhaltens. Diese Modelle lassen sich in zwei Kategorien einteilen: kontinuierliche und diskrete Modelle. Diskrete Modelle gewinnen aufgrund der rasanten Entwicklung der digitalen Technologie zunehmend an Bedeutung. Die Mathematik der diskreten Modelle stützt sich wesentlich auf Summen.

Diese Arbeit stellt eine Zusammenstellung von Eigenschaften von Summen aus der Literatur vor und präsentiert zusätzliche Eigenschaften, die besonders relevant sind bei der Arbeit mit diskreten Variablen und Funktionen mit einheitlichen Intervallen.

Allgemeines

Eine Summe ist die Summe einer endlichen Menge von Zahlen, dargestellt als:

∑_k=h^h+t n_k

Wobei:

• S: Summe
• t: Anzahl der zu addierenden Werte
• k: Index der Summe, der von h bis h+t variiert
• h: Startpunkt der Summation
• h+t: Endpunkt der Summation
• n_k: Wert des k-ten Elements

Eine wichtige Sonderform ist die unendliche Reihe (t→∞), die hier jedoch nicht behandelt wird.

Eigenschaften der Summen

In der Literatur

Elf Eigenschaften von Summen aus der Literatur werden hier ohne Beweis aufgeführt (Beweisführung erfolgt mittels vollständiger Induktion):

Eigenschaft #1:

Eigenschaft #2:

Eigenschaft #3:

Eigenschaft #4:

Eigenschaft #5:

Eigenschaft #6:

Eigenschaft #7:

Eigenschaft #8:

Eigenschaft #9:

Eigenschaft #10:

Eigenschaft #11:

In dieser Arbeit erhaltene Eigenschaften

Viele praktische Probleme erfordern die Berechnung von Summen unter spezifischen Bedingungen, z.B. bei der Lösung linearer Gleichungen oder der Bestimmung von Ableitungen diskreter Funktionen. Die folgenden Eigenschaften wurden unter solchen Bedingungen abgeleitet:

Symmetrie in Bezug auf den Summationsindex

Symmetrie vereinfacht Berechnungen. Für einen symmetrischen Bereich gilt:

∑_k=h^h+t n_k = ∑_k=h^h+t n_h+t-k

Unter dieser Annahme lassen sich folgende Eigenschaften ableiten:

Eigenschaft #1:

Beweis:

Eigenschaft #2:

Beweis:

Eigenschaft #3:

Eigenschaft #4:

Eigenschaft #5:

Lösung linearer Gleichungen mit unabhängigen Variablen der Form x ± kTx

Die Berechnung analytischer Ausdrücke für Ableitungen diskreter Funktionen ist ein interessantes Anwendungsbeispiel. Die folgenden Eigenschaften wurden aus der Praxis abgeleitet:

Eigenschaft #1:

Eigenschaft #2:

Eigenschaft #3:

Eigenschaft #4:

Eigenschaft #5:

Eigenschaft #6:

Schlussfolgerungen

Diese Arbeit zeigt eine Reihe von Eigenschaften von Summen aus der Literatur und leitet daraus weitere Eigenschaften ab, die besonders nützlich sind bei der Lösung linearer Gleichungssysteme und der Berechnung von Ableitungen diskreter Funktionen.

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Verfasst von: M.Sc. Herr Jesus Mesa Orama, Policies and Procedures Specialist, Gesellschaft Havanatur SA, Corporacion Cimex SA [email protected]