Einführung in die Geometrie: Konzepte und Werkzeuge

Grundlegende Geometrie-Konzepte

Ebene Geometrie

Teil der Geometrie, der sich mit Figuren befasst, deren Punkte alle in einer Ebene liegen.

Raumgeometrie

Befasst sich mit Figuren, deren Punkte nicht alle in derselben Ebene liegen.

Darstellende Geometrie

Löst Raumgeometrieprobleme durch Operationen in einer Ebene und stellt räumliche Figuren dar.

Projektive Geometrie

Projiziert Figuren auf eine Ebene.

Analytische Geometrie

Untersucht Figuren mithilfe eines Koordinatensystems und mathematischer Analyse.

Flächen und Körper

Kegelschnitt

Schnittkurve eines Kegels mit einer Ebene. Typen: Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Hyperboloid

Rotationsfläche, die durch Rotation einer Hyperbel um eine ihrer Achsen entsteht. Der geometrische Ort der Punkte, für die die Differenz der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant ist.

Ellipse

Geometrischer Ort aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten konstant ist.

Parabel

Geometrischer Ort aller Punkte, die gleich weit von einem Brennpunkt und einer Leitlinie entfernt sind.

Gerade

Kontinuierliche und unbestimmte Reihe von Punkten in einer Dimension.

Strahl

Einer der beiden Teile, in die eine Gerade durch einen ihrer Punkte geteilt wird.

Punkt

Dimensionsloses geometrisches Element, das eine Position im Raum beschreibt.

Prisma

Polyeder mit zwei parallelen und kongruenten Grundflächen und parallelogrammförmigen Seitenflächen.

Polyeder

Körper, dessen Flächen eben sind und ein endliches Volumen einschließen. Ein Polyeder ist konvex, wenn jede Strecke, die zwei innere Punkte verbindet, vollständig im Inneren liegt.

Polygon

Geometrische Figur, die durch aufeinanderfolgende, nicht ausgerichtete Strecken gebildet wird. Arten:

• Einfach: Zwei nicht aufeinanderfolgende Kanten schneiden sich nicht.
• Komplex: Zwei nicht aufeinanderfolgende Kanten schneiden sich.
• Konvex: Eine Gerade schneidet es in höchstens zwei Punkten.
• Konkav: Eine Gerade kann es in mehr als zwei Punkten schneiden.
• Regelmäßig: Alle Seiten und Winkel sind gleich.
• Unregelmäßig: Seiten und Winkel sind ungleich.
• Gleichseitig: Alle Seiten sind gleich.
• Gleichwinklig: Alle Winkel sind gleich.

Quader

Polyeder mit sechs parallelogrammförmigen Flächen, die paarweise parallel und kongruent sind.

Polygonzug

Geordnete Menge von Strecken, bei denen das Ende einer Strecke mit dem Anfang der folgenden zusammenfällt. Ein Polygon wird durch einen geschlossenen Polygonzug gebildet.

Mittelsenkrechte

Linie, die senkrecht zu einer Strecke in deren Mittelpunkt steht.

Parallelepiped

Sechsseitiges Polyeder (Hexaeder), dessen Flächen Parallelogramme sind, paarweise parallel und kongruent.

Winkelhalbierende

Linie, die einen Winkel in zwei gleiche Teile teilt. Geometrischer Ort der Punkte, die den gleichen Abstand zu den Schenkeln eines Winkels haben.

Erzeugende

Linie, die durch ihre Bewegung eine geometrische Figur erzeugt, die von der Leitlinie abhängt. Beispiele für Kurven, die durch Erzeugende entstehen:

• Zykloide: Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis beschreibt, der auf einer Geraden rollt.
• Epizykloide: Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis beschreibt, der auf einem anderen Kreis rollt.
• Hypozykloide: Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis beschreibt, der innerhalb eines anderen Kreises rollt.
• Trochoide: Kurve, die ein Punkt beschreibt, der mit einem Kreis verbunden ist, der auf einer Geraden rollt.
  • Epitrochoide: Punkt verbunden mit Kreis, rollt außerhalb eines anderen Kreises.
  • Hypotrochoide: Punkt verbunden mit Kreis, rollt innerhalb eines anderen Kreises.

Ebene

Idealer Ort mit nur zwei Dimensionen, der unendlich viele Punkte und Geraden enthält.

Halbebene

Jeder der beiden Teile, in die eine Ebene durch eine Gerade geteilt wird.

Darstellungsmethoden

Isometrie

Grafische Darstellungsmethode, genauer gesagt eine orthogonale Axonometrie.

Kavalierperspektive

System der schrägen Parallelprojektion, bei dem die Dimensionen der Vorderansicht in wahrer Größe dargestellt werden.

Zentralprojektion (Konische Projektion)

Grafische Darstellung, bei der die Projektionsstrahlen in einem Punkt (dem Auge des Betrachters) zusammenlaufen.

Axonometrische Perspektive

Grafische Darstellung, bei der geometrische Elemente in einem dreidimensionalen Raum dargestellt werden. Parallele Linien bleiben parallel.

Orthogonale Projektion

Projektion, bei der die Hilfslinien senkrecht zur Projektionsebene stehen.

Weitere geometrische Begriffe

Scheitelpunkt (Vertex)

Punkt, an dem sich zwei Strahlen treffen und einen Winkel bilden.

Winkel

Teil der Ebene zwischen zwei Strahlen mit demselben Ursprung. Gemessen in Radiant, Grad oder Gon.

Diederwinkel

Raum zwischen zwei Halbebenen, deren gemeinsamer Ursprung eine Gerade ist.

Raumwinkel

Wird durch ein Objekt von einem gegebenen Punkt aus gesehen und misst dessen scheinbare Größe.

Umkreismittelpunkt

Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks und Mittelpunkt des Umkreises.

Kugel

Körper, der durch eine gekrümmte Fläche begrenzt ist, deren Punkte gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind.

Kegel

Rotationskörper, der durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner Katheten entsteht.

Zylinder

Rotationskörper, der durch Rotation einer Geraden um eine parallele Achse entsteht. Die Zylinderfläche ist die Menge aller Punkte, die einen festen Abstand zu einer gegebenen Geraden (der Achse) haben.

Dreieck

Polygon, das durch drei Geraden bestimmt wird, die sich paarweise in drei Punkten schneiden.

Werkzeuge für technisches Zeichnen

Zirkel

Instrument zum Zeichnen von Kreisen oder Kreisbögen. Typen:

• Schlagzirkel
• Minenzirkel
• Bigotera (Schnurrbartzirkel)
• Balustre (Fallnullenzirkel)
• Goldener Zirkel

Winkelmesser (Transporteur)

Instrument zum Messen von Winkeln in Grad. Typen:

• Halbkreisförmig (180°)
• Kreisförmig (360°)

Zeichendreieck (Winkeldreieck)

Rechtwinkliges Dreieck (90°, 45°, 45°) zum Zeichnen von parallelen und senkrechten Linien.

Zeichenwinkel

Schablonen in Form eines ungleichseitigen Dreiecks (90°, 60°, 30°), oft mit Maßstab.

Lineal

Messgerät mit einer Skala in Längeneinheiten (z. B. cm oder Zoll).

Bleistift

Schreib- oder Zeicheninstrument mit einer Mine aus Pigment (meist Graphit).

Maßstab

Spezielle Lineal mit verschiedenen Maßstäben.

Reißfeder (Tuschfeder)

Werkzeug für technisches Zeichnen mit Tinte.