Elektrische Felder und Potenziale: Berechnungen und Vergleiche

Elektrisches Feld einer gleichmäßig geladenen Kugel

Betrachten wir eine Kugel mit gleichmäßig verteilter Ladung Q. Wir möchten das elektrische Feld an einem Punkt r von der Mitte der Kugel berechnen. Mithilfe des Gaußschen Gesetzes, das besagt, dass der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche gleich der eingeschlossenen Ladung geteilt durch die Permittivität des Vakuums (ε₀) ist, können wir das Feld bestimmen. Für eine Kugel konzentrisch zur gegebenen Kugel ist der Fluss durch die Oberfläche gleich Q / ε₀. Aus der Symmetrie des Problems und der Annahme, dass das Feld radial nach außen gerichtet ist, ergibt sich die Feldstärke E = kQ / r², wobei k die Coulomb-Konstante ist. Dies entspricht dem Feld einer Punktladung im Zentrum der Kugel.

Elektrisches Feld einer unendlich ausgedehnten, gleichmäßig geladenen Ebene

Für eine unendlich ausgedehnte Ebene mit gleichmäßiger Ladungsverteilung können wir ebenfalls das Gaußsche Gesetz anwenden. Betrachten wir einen Zylinder, dessen Achse senkrecht zur Ebene steht und der durch die Ebene geht. Der Fluss durch die beiden Querschnitte des Zylinders ist gleich, während der Fluss durch die Seitenfläche Null ist. Wenn die Flächendichte der Ladung σ = Q / S ist, dann ist das elektrische Feld E = σ / (2ε₀).

Elektrisches Feld eines unendlich langen, geladenen Fadens

Um das elektrische Feld eines unendlich langen, geladenen Fadens zu berechnen, wählen wir einen Zylinder als Gaußsche Fläche, dessen Achse mit dem Faden übereinstimmt. Der Fluss durch die Stirnflächen des Zylinders ist Null, da das elektrische Feld parallel zu diesen Flächen verläuft. Auf der Mantelfläche des Zylinders ist das Feld radial gerichtet und hat überall den gleichen Betrag E. Der Fluss durch die Mantelfläche ist Φ = E * A = E * (2πrl), wobei r der Radius und l die Länge des Zylinders ist. Die eingeschlossene Ladung ist Q = λl, wobei λ die lineare Ladungsdichte ist. Nach dem Gaußschen Gesetz gilt E * (2πrl) = λl / ε₀. Daraus folgt für das elektrische Feld E = λ / (2πε₀r).

Elektrische potentielle Energie und Potenzial

Die elektrische potentielle Energie Ep einer Ladung q an einem Punkt ist die Arbeit, die verrichtet werden muss, um diese Ladung von Unendlich zu diesem Punkt zu bringen. Sie ist gegeben durch Ep = kQq / r. Das elektrische Potenzial V an einem Punkt ist die potentielle Energie pro Ladungseinheit, also V = Ep / q = kQ / r, und wird in Volt gemessen. Die Differenz zwischen zwei Punkten, Va - Vb, ist die Arbeit, die verrichtet werden muss, um eine Ladung q von Punkt a nach Punkt b zu bewegen, W = q(Va - Vb). Ist die Arbeit negativ, bedeutet dies, dass das Feld die Bewegung unterstützt. Wenn das Potenzial positiv ist und die potentielle Energie steigt, muss Arbeit gegen das Feld verrichtet werden. Verringert sich die potentielle Energie, geschieht die Aktion spontan durch das Feld. Äquipotentialflächen sind Flächen, auf denen das Potenzial konstant ist, und die Arbeit, um eine Ladung entlang dieser Flächen zu bewegen, ist Null.

Analogien und Unterschiede zwischen elektrischem und Gravitationsfeld

Elektrische und Gravitationsfelder sind beides konservative Felder, was bedeutet, dass die Arbeit, die verrichtet wird, um eine Ladung oder Masse von einem Punkt zu einem anderen zu bewegen, unabhängig vom gewählten Weg ist. Beide Felder sind zentral und ihre Kraft ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung. Die Feldlinien sind senkrecht zu den Äquipotentialflächen (oder Äquipotenzialflächen im Fall der Gravitation). Ein wesentlicher Unterschied besteht darin, dass das Gravitationsfeld universell ist und von allen Massen erzeugt wird, während das elektrische Feld nur von geladenen Objekten erzeugt wird. Das Gravitationsfeld ist immer anziehend, während das elektrische Feld sowohl anziehend als auch abstoßend sein kann. Die Stärke des elektrischen Feldes ist aufgrund der größeren Coulomb-Konstante k im Vergleich zur Gravitationskonstante G um viele Größenordnungen höher (etwa 10³⁶-mal). Während eine Masse in Ruhe oder Bewegung ein Gravitationsfeld erzeugt, erzeugt eine bewegte Ladung zusätzlich ein Magnetfeld.