Elektrische Schaltungen: Grundlagen, Gesetze und Analysemethoden

Artikel 55: Grundlagen der Elektrotechnik

Einführung in elektrische Schaltungen

Ein Kurzschluss oder ein elektrischer Schaltkreis ist ein Verbund elektrischer Elemente, die in einem geschlossenen Pfad verbunden sind, sodass ein elektrischer Strom fließen kann. Diese elektrischen Elemente sind Widerstände, Induktivitäten, Kondensatoren, Spannungsquellen und Stromquellen. Alle Elemente sind durch zwei Anschlüsse (Terminals) und eine bekannte Strom-Spannungs-Beziehung gekennzeichnet. Der Widerstand hält sich strikt an das Ohmsche Gesetz: V = R * I.

In der Induktivität oder Spule ist eine Spannung an ihren Anschlüssen proportional zur Änderung des Stroms durch sie (V = L * di / dt). Im Kondensator ist der Strom, der in einen der Anschlüsse eintritt, proportional zur Änderung der Spannung zwischen ihnen (i = C * dv / dt). Eine ideale Spannungsquelle liefert eine Nennspannung unabhängig vom Strom, der durch sie fließt. Bei einer idealen Stromquelle ist der Strom durch die Anschlüsse unabhängig von der Spannung zwischen ihnen. Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten sind passive Komponenten und verbrauchen oder speichern Energie. Zudem ist ihre Strom-Spannungs-Beziehung linear. Quellen sind aktive Komponenten und können den Stromkreis mit Energie versorgen.

Eine elektrische Schaltung ist ein Verbund einer beliebigen Anzahl dieser Komponenten. Diese sind Idealisierungen technologisch möglicher Komponenten. Um jedoch ein reales Element zu beschreiben, können wir immer ein Modell mit einer Kombination (seriell, parallel oder gemischt) erstellen, um komplexe reale Elemente mit dem gewünschten Grad an Genauigkeit zu beschreiben.

Die Analyse von elektrischen Schaltungen nutzt, zusätzlich zu den Strom-Spannungs-Beziehungen in jeder der möglichen Komponenten, die Kirchhoffschen Gesetze. Diese können entweder als Ableitung der Maxwell-Gleichungen des elektromagnetischen Feldes oder als Folge der Erhaltungssätze für Ladung und Energie verstanden werden:

• Kirchhoffsches Spannungsgesetz (KVL): Die Summe der Spannungsabfälle in einer Schleife in einer Schaltung ist Null. (Folgt dem Prinzip der Energieerhaltung).
• Kirchhoffsches Stromgesetz (KCL): Die Summe der eingehenden Ströme an einem Knoten ist gleich Null. (Folgt dem Prinzip der Ladungserhaltung).

Ohmsches Gesetz

Es besagt, dass die Intensität des elektrischen Stroms, der durch einen Stromkreis fließt, direkt proportional zur Spannung zwischen seinen Anschlüssen und umgekehrt proportional zum Widerstand des Stromkreises ist. Es kann mathematisch in der folgenden Gleichung ausgedrückt werden: I = U / R oder U = I * R. (Abbildung: Eine elektronische Schaltung).

Kirchhoffsche Gesetze

Basierend auf dem Ohmschen Gesetz. Um diese Gesetze bei der Berechnung elektronischer Schaltungen anzuwenden, müssen wir eine Reihe von Begriffen berücksichtigen, die in elektronischen Schaltungen verwendet werden:

• Elektrisches Netzwerk: Ein Satz von Generatoren und Verbrauchern, die durch Leitungen miteinander verbunden sind.
• Knoten: Ein Verbindungspunkt von drei oder mehr Leitern.
• Zweig: Ein Abschnitt, der zwei Knoten miteinander verbindet.
• Masche: Ein geschlossener Kreislauf, der aus mehreren miteinander verbundenen Zweigen besteht.

(Abbildung: Eine gemischte Schaltung mit allen relevanten Punkten).

Erstes Kirchhoffsches Gesetz (KCL)

Die Summe der Ströme, die in einen Knotenpunkt fließen, ist gleich der Summe der Ströme, die von diesem Knotenpunkt abfließen. (Abbildung: Zweige mit zentralem Knoten) Beispiel: I1 + I2 = I3 + I4 + I5.

Zweites Kirchhoffsches Gesetz (KVL)

In jedem geschlossenen Kreislauf ist die Summe der elektromotorischen Kräfte (EMK) gleich der Summe der Spannungsabfälle an den Widerständen.

Reihenschaltungen

Eine Reihenschaltung ist eine Verbindung von Elementen, bei der durch alle Elemente die gleiche elektrische Stromstärke fließt. Merkmale von Reihenschaltungen sind:

1. Der Strom (I) ist in allen Elementen gleich.
2. Anwendung des Ohmschen Gesetzes: V1 = R1 * I, V2 = R2 * I, V3 = R3 * I.
3. Die Gesamtspannung (Vt) ist die Summe der Einzelspannungen: Vt = V1 + V2 + V3 + ...
4. Die Gesamtleistung (Pt) ist die Summe aller Teilleistungen, die von jedem Widerstand verbraucht werden: P1 = R1 * I^2, P2 = R2 * I^2, ... Pt = P1 + P2 + P3 + ...

Diese Methode wird selten für Beleuchtungsschaltungen verwendet, da bei Ausfall eines Elements die gesamte Schaltung unterbrochen wird. (Abbildung: Eine Reihenschaltung mit drei Widerständen).

Parallelschaltungen

Parallele Komponenten sind solche, bei denen aufgrund der Schaltungstopologie alle Elemente unter der gleichen Spannung oder Potentialdifferenz an ihren Anschlüssen liegen. Bei einer Parallelschaltung von Widerständen, die an eine Stromquelle angeschlossen ist, besagt das Kirchhoffsche Stromgesetz, dass der von der Quelle gelieferte Gesamtstrom gleich der Summe der Ströme ist, die durch die einzelnen Widerstände fließen. (Abbildung: Eine Parallelschaltung).

Merkmale von Parallelschaltungen:

1. Der Gesamtstrom (It) der Schaltung ist die Summe aller Teilströme, die durch die einzelnen Zweige fließen: It = I1 + I2 + I3 + ...
2. Die Spannung (V) ist an allen Widerständen gleich: Vt = V1 = V2 = V3 = ...
3. Die Ströme durch die einzelnen Zweige sind: I1 = Vt / R1, I2 = Vt / R2, ... Der Gesamtwiderstand (Rt) berechnet sich als: 1 / Rt = 1 / R1 + 1 / R2 + ...
4. Die Gesamtleistung (Pt) ist gleich der Summe aller Teilleistungen, die von den Widerständen in der Schaltung verbraucht werden: Pt = P1 + P2 + Pn + ...

Gemischte Schaltungen

Eine Kombination von elektrischen Elementen, die in Reihe und parallel geschaltet sind. Die überwiegende Mehrheit der elektronischen Schaltungen besteht aus solchen gemischten Anordnungen. Um solche Schaltungen zu analysieren, ist es oft notwendig, sie zu vereinfachen, um die Berechnungen zu erleichtern. (Abbildung: Eine gemischte Schaltung).

In einem Stromkreis mit vielen Komponenten gibt es zwei Haupttypen von Topologien:

1. Schaltungen, die in Teilmengen mit reinen Reihen- oder Parallelschaltungen zerlegt werden können.
2. Schaltungen, die irreduzible gemischte Verbindungen enthalten.

Betrachten wir diese beiden Situationen:

1. Reduzierbare gemischte Reihen- und Parallelschaltungen

Betrachten Sie die folgende Schaltung (siehe Abbildung):

In der abgebildeten Schaltung sind R4 und R3 parallel geschaltet (R4 || R3). R2 ist in Reihe mit der Kombination (R4 || R3) geschaltet. R5 ist parallel zur Summe R2 + (R4 || R3) geschaltet. Schließlich ist R1 in Reihe mit der gesamten Kombination R5 || (R2 + (R4 || R3)) geschaltet. Der äquivalente Widerstand, von den Anschlüssen aus gesehen, ist: Req = R1 + (R5 || (R2 + (R3 || R4))). Dieses Ergebnis wird durch das Neuzeichnen der Schaltung ersichtlich (siehe Abbildung).

2. Irreduzible gemischte Schaltungen (Stern-Dreieck)

Wenn die Elemente nicht als reine Reihen- oder Parallelschaltungen gruppiert werden können, müssen zur Lösung entweder allgemeine Methoden oder in diesem Fall die Stern-Dreieck-Transformation angewendet werden. Diese Transformationen sind aufgrund ihrer weiten Verbreitung in der Elektrotechnik, insbesondere bei der Verdrahtung von Motoren, von großer Bedeutung. (Abbildung: Eine Stern- und eine Dreiecksschaltung mit drei Widerständen).

Allgemeine Methoden zur Schaltungsanalyse

Im Folgenden werden zwei allgemeine Methoden zur Analyse elektrischer Schaltungen vorgestellt. Diese Methoden basieren auf den Kirchhoffschen Gesetzen und wenden diese konsequent auf die Schaltungstopologie an. Sie können nicht nur für ohmsche Schaltungen, sondern auch für allgemeine Wechselstromkreise mit sinusförmigen Quellen, Phasoren und Impedanzen verwendet werden.

Maschenstromanalyse

Wir definieren einen Knoten als jeden Punkt, der mehr als zwei Komponenten oder Zweige verbindet. Ein Weg verbindet zwei Knoten miteinander. Eine Schleife ist ein geschlossener Weg in einer Schaltung, der an einem Knoten beginnt und zu diesem zurückkehrt, ohne einen anderen Knoten zweimal zu durchlaufen. Eine Masche ist eine Schleife, die keine andere Schleife in sich enthält. Maschen erscheinen oft als 'Fenster' in der schematischen Darstellung der Schaltung. Durch Anwendung des Kirchhoffschen Spannungsgesetzes (KVL) auf jede Masche erhalten wir, dass die Summe der Spannungsabfälle in jeder Masche gleich der Summe der Spannungsquellen in dieser Masche ist. Daraus ergibt sich ein System von Gleichungen mit so vielen Maschen wie die Schaltung hat und mit den Maschenströmen als Unbekannten. Diese Methode eignet sich am besten, wenn die Schaltung hauptsächlich Spannungsquellen enthält. (Abbildung: Eine Schaltung mit drei Maschen I1, I2 und I3).

Knotenpotentialanalyse

Eine Schaltung mit n Knoten benötigt n-1 Gleichungen für die Spannungen an den n-1 Knoten, wobei ein Knoten als Referenz dient. Da eine Spannung immer zwischen zwei Knoten definiert ist, müssen die Spannungen an den n-1 Knoten relativ zu einem Referenzknoten identifiziert werden. In der Regel wird der unterste Knoten der Schaltung als Referenz gewählt. Enthält die Schaltung einen geerdeten Knoten, wird dieser als Referenzknoten verwendet. Betrachten Sie zum Beispiel die folgende Schaltung:

Um die Spannung an einem Knoten zu bestimmen, wenden wir das Kirchhoffsche Stromgesetz (KCL) an jedem Knoten der Schaltung an, mit Ausnahme des Referenzknotens. Dieses System von Gleichungen ermöglicht es, die Spannungen an jedem Knoten zu finden. Man kann jeden beliebigen Knoten als Referenz wählen. Es ist jedoch zweckmäßig, den Knoten mit der höchsten Anzahl angeschlossener Zweige zu wählen. Wenn man zwischen zwei Knoten mit der gleichen Anzahl von angeschlossenen Zweigen wählen muss, wird oft der untere Knoten bevorzugt. Nehmen wir an, Knoten C ist der Referenzknoten. Es wird üblicherweise angenommen, dass die Spannung am Referenzknoten Null ist. Dann werden die Gleichungen des Kirchhoffschen Stromgesetzes an den anderen Knoten angewendet, indem man die Ströme berücksichtigt, die in den Knoten eintreten und ihn verlassen. Es ist auch wichtig zu beachten, dass der Strom I1, der den Knoten verlässt, als I1 = (Va - Vb) / R1 ausgedrückt werden kann.

Diese Methode eignet sich besonders gut zur Analyse von Schaltungen mit Stromquellen.

Fazit