Entwicklung von Messkonzepten: Größe und Maß im Kindesalter

Pädagogische Herausforderung der Messkonzepte

Punkt 3. Ausmaß. 7

"Die pädagogische Herausforderung wird es sein, Unterrichtssituationen zu finden, die die Konstruktion der wesentlichen Konzepte der Messung ermöglichen, wobei die notwendigen Werkzeuge für den Schüler bereitgestellt werden, damit dieser als Bürger in seinem Leben funktionieren kann."

(Chamorro, 2003).

1. Genese der Idee von Größe und Messung beim Kind

1.1. Schritte zur Überwindung des Beginns der Arbeit mit Größe und Messung

Die Arbeit mit Größenordnungen durchläuft folgende Schritte:

• Prüfung und Wahrnehmung einer Größenordnung.
• Erhaltung der Größenordnung (Konservierung).
• Ordnung (Verordnung) über die Größenordnung.
• Korrespondenz zwischen Zahlen und Mengen der Größenordnung.

Prüfung und Wahrnehmung einer Größenordnung

Das Kind muss die Eigenschaften des präsentierten Objekts oder einer Sammlung von Objekten differenzieren und unterscheiden. Anschließend muss es die zu behandelnde Eigenschaft (Größe) isoliert von den restlichen Eigenschaften oder Attributen betrachten.

Erhaltung (Konservierung) der Größenordnung

Das Kind muss feststellen, welche Veränderungen am Objekt eine resultierende Veränderung des behandelten Umfangs verursachen können und welche invariant bleiben.

Wenn Schüler die Vorstellung erworben haben, dass, wenn das Objekt seine Position, Form, Größe oder andere Eigenschaften ändert, eine bestimmte Größenordnung konstant bleibt, dann ist das Kind konservativ in Bezug auf diese Größenordnung.

Ordnung (Sortierung) der Größenordnung

Die Eigenschaften, welche die Größen definieren, ermöglichen die natürliche Sortierung der behandelten Objekte. Wenn das Kind die Stufen der Betrachtung, Wahrnehmung und Erhaltung der Größe überschreitet, kann es Beziehungen zwischen Objekten herstellen und Vergleiche der Art „größer als“ oder „kleiner als“ durchführen. Die Möglichkeit der Ordnung ist untrennbar mit dem Begriff der Größenordnung verbunden.

Korrespondenz zwischen Zahlen und Mengen der Größenordnung

Dieser letzte Schritt entspricht der Fähigkeit, selbst zu messen. Der Vergleich zwischen Objekten und deren anschließende Verwaltung erfordert die Prüfung, wie intensiv die Beziehung „mehr oder weniger als“ ist. Wir sagen zum Beispiel, dass ein Objekt doppelt so viel wiegt wie ein anderes, dreimal mehr usw.

Piagets Phasen zur Konstruktion des Messbegriffs

Hinsichtlich der Konstruktion des Messbegriffs zeigen Piagets Studien, dass das Kind die folgenden Phasen durchlaufen muss:

• Direkter Wahrnehmungsvergleich
• Verschieben von Objekten
• Anwendung der transitiven Eigenschaft: Indirekte Vergleiche.

Direkter Wahrnehmungsvergleich

Das Kind vergleicht Objekte rein wahrnehmungsbasiert, ohne eine gemeinsame Maßeinheit oder Verschiebung zu verwenden. Nur wenn die direkte Wahrnehmung nicht genügend Informationen liefert, werden Zwischenobjekte oder bestimmte Körperteile (Hände oder Füße bei der Länge) als bloße Unterstützung der Wahrnehmung eingesetzt.

Verschieben von Objekten

In dieser Phase erkennt das Kind die Notwendigkeit, Objekte zu vergleichen, indem es sie nahe genug bewegt, um wahrnehmungsbasierte Informationen zu gewinnen. Wenn dieser Ansatz nicht möglich ist, werden Zwischenobjekte außerhalb des eigenen Körpers verwendet.

Anwendung der transitiven Eigenschaft: Indirekte Vergleiche

Basierend auf den Vergleichen in früheren Stadien ist das Kind in der Lage, Argumente zu formulieren wie:

"Wenn a = b und b = c, dann a = c"

Dabei dient das Element b als Überträger für den Vergleich. Dieses Stadium steht im Zusammenhang mit der Erhaltung von Mengen, da es Transformationen (Verschiebungen und Verformungen) behandelt und die Konservierung dieser belegt.

Bedeutung der transitiven Eigenschaft

Es ist notwendig und wichtig, die transitive Eigenschaft zu überprüfen, da bei Schülern oft das visuelle Gedächtnis als Unterstützung für diese Eigenschaft wirkt.

Bemerkenswert sind die Unterschiede in der Anwendung der transitiven Eigenschaft, die wir bei verschiedenen Größenordnungen feststellen können. Zum Beispiel bei mehreren Bändern unterschiedlicher Länge: Es ist möglich, sie in einer Reihe anzuordnen (visueller Vergleich/Sortierung ohne explizite Verwendung der transitiven Eigenschaft). Bei der Masse von Objekten, die mit einer Doppelwaage gemessen wird, ist die Darstellung des Gesamtwertes der Ordnung nicht möglich. In diesem Fall ist es wiederholt und unnötig schwierig, bei unseren Schülern die Notwendigkeit des Erwerbs transitiver Vergleiche zu beobachten.

1.2. Entwicklungsstadien des Konzepts der Maßeinheit

Es ist wichtig zu beachten, dass zu Beginn das Vergleichsobjekt nicht mit der häufig verwendeten Standard-Maßeinheit übereinstimmt. Nur die Genauigkeit wird die Schüler von der Notwendigkeit einer Standardeinheit überzeugen. Sobald das Kind die Anwendung der transitiven Eigenschaft erreicht hat und die Messung etabliert ist, entwickelt es die Idee der Einheit. Deren Konstitution ist die nächste Evolutionsstufe:

Theoretische Festlegung der Anwendung als feste Einheit

Aus pädagogischer Sicht ist es ein wichtiger Aspekt von großer Bedeutung, den Schülern die Bedeutung und Notwendigkeit der Einheit zu vermitteln. Dies erfordert eine spezielle Behandlung durch die Gestaltung von Lehrsituationen, mit denen die Rolle der Einheit bei der Festlegung der Messung von Größen entdeckt werden kann (Chamorro, 2003).

Wir unterscheiden fünf Schritte bei der Bildung der Einheit einer Größenordnung:

1. Mangelnde Einheitlichkeit.
2. Objekt-Einheit (Objekt-Unit).
3. Situations-Einheit (Situation Unit).
4. Figurale Einheit (Figuralen Einheit).
5. Die Einheit selbst (Das Gerät selber).

Mangelnde Einheitlichkeit

Der erste Ansatz zur Messung ist stark wahrnehmungsbasiert. Zwei Objekte werden direkt miteinander verglichen. Diese Strategie stößt jedoch schnell an ihre Grenzen, wenn ein drittes Objekt hinzukommt.

Beispiel: Beim Vergleich von drei Behältern zur Kapazitätsbestimmung kann das Kind deren Inhalt vergleichen, ohne eine Maßeinheit zu verwenden.

Objekt-Einheit (Objekt-Unit)

Zu diesem Zeitpunkt assoziiert das Kind die Maßeinheit mit dem Objekt selbst. Die Strategien zur Bestimmung der Maßeinheit sind häufig Bestandteile des zu messenden Objekts selbst.

Beispiel: Um die Kapazität einer Flüssigkeit zu messen, wenn verschiedene kleinere Behälter angeboten werden, verwenden Kinder häufig den Behälter, dessen Form dem zu messenden Behälter am ähnlichsten ist.

Situations-Einheit (Situation Unit)

In diesem Stadium hängt die Maßeinheit immer noch vom zu messenden Objekt ab, ändert sich jedoch basierend auf der Beziehung zu anderen Objekten. Zur Messung kleiner Objekte werden kleine Einheiten verwendet; zur Messung großer Objekte werden größere Einheiten als die bisherigen verwendet.

Figurale Einheit

Die Einheit verliert in dieser Phase die direkte Beziehung zum zu messenden Objekt, obwohl sie noch mit bestimmten Figuren in Verbindung gebracht wird.

Solche Strategien sind bei der Kapazitätsmessung zu beobachten, wenn das Kind beispielsweise eine Anzahl von Einheiten an einem beliebigen Objekt misst, das sich auf ein reales Einheitensystem dieser Größe bezieht. Dabei bleibt der Trend erhalten, große Objekte mit großen Einheiten und kleine Objekte mit kleinen Einheiten zu messen.

Die Einheit selbst

Wenn die Einheit es schafft, sich von der Form der Figur, der Größe und dem zu messenden Objekt selbst zu lösen, wird das Konzept der Maßeinheit konstruiert, das für alle Figuren oder Objekte gilt.

Die Einheit der Größe ist nichts anderes als eine bestimmte Größe, die jedoch keiner bestimmten Zahl zugeordnet ist. Die ersten Muster ergeben sich aus Körperteilen (anthropometrische Maße). Der Einsatz dieser Einheiten kann natürlich gute Ergebnisse liefern, wenn dieselbe Person misst. Die Notwendigkeit einer einheitlichen Maßeinheit ist jedoch die Grundlage für die Vereinbarung zur Etablierung des Messsystems, das als metrisches System bekannt ist.

2. Untersuchung der linearen Parameter: Länge, Masse und Kapazität

2.1. Die Messung der Länge bei Kindern

Die Länge ist vielleicht die elementarste Größenordnung und wird im Bildungsbereich in den meisten Fällen als Vermittler für viele andere Größenordnungen verwendet, was ihren Aufbau erschweren kann.

2.1.1. Größe und Distanz

Beim Umgang mit Objekten, die ein wahrnehmbares Volumen haben (sogenannte gefüllte Objekte), basiert die Längenskala auf deren physischer Ausdehnung. Die Distanz hingegen bezieht sich auf den leeren Raum zwischen zwei Objekten, was eine unterschiedliche Behandlung dieser Situationen erfordert. Die beiden Begriffe sind komplementär, aber das Kind kann Schwierigkeiten haben, sie miteinander in Beziehung zu setzen.

Grundlegende Schlussfolgerungen für den Aufbau des Distanzbegriffs (Belmonte, 2005)

Um den Begriff der Distanz effektiv aufzubauen, muss das Kind drei grundlegende Schlussfolgerungen entwickeln:

1. Erhaltung der Distanz zwischen zwei Objekten: Der Abstand zwischen zwei Objekten bleibt erhalten, selbst wenn sich störende Objekte zwischen ihnen befinden.
2. Symmetrie der Distanz: Der Abstand zwischen A und B entspricht dem Abstand zwischen B und A.
3. Die Ungleichheit der Distanz: Wenn ein Objekt C zwischen A und B platziert wird, ist der Abstand zwischen A und C oder zwischen B und C kleiner als der Abstand zwischen A und B.

Piaget besagt, dass diese Eigenschaften erst ab 7 Jahren konsolidiert werden.

2.1.2. Erhaltung (Konservierung) der Länge

Es gibt drei Aspekte, die bei den Schwierigkeiten der Schüler in Bezug auf die Länge berücksichtigt werden müssen: Positionsänderungen, Formänderungen und Zerlegung/Neuzusammensetzung.

Positionsänderungen

Kinder erkennen nicht immer die Gleichheit zweier Längen, wenn eine von ihnen eine Verschiebung erfährt, da sie sich ausschließlich auf den Endpunkt/Endpunkt fixieren.

Formänderungen

Das Kind neigt dazu, Entscheidungen über Längen basierend auf nicht-kritischen Aspekten zu treffen, wie der Position der Enden, der Anzahl der Kurven oder der Anzahl der Segmente. Gerade Linien werden dabei oft bevorzugt.

2.2. Die Messung der Masse bei Kindern

Die Massenskala kann als eine der Größenordnungen mit der stärksten sinnlichen Wahrnehmung betrachtet werden und weist daher deutliche Fehlerquellen auf.

Aus physikalischer Sicht muss der Unterschied zwischen Masse und Gewicht betont werden, da es sich um unterschiedliche Größen handelt. Dies sollte jedoch die Komplementarität dieser Größen nicht außer Acht lassen, da das Gewicht der Objekte es uns ermöglicht, deren Masse abzuschätzen.

Wesentliche Aspekte der Schwierigkeiten bei der Massenmessung

Es gibt zwei wesentliche Aspekte, die bei den Schwierigkeiten der Schüler im Umgang mit der Massenskala isoliert werden müssen: das Volumen und die Zerlegung/Neuzusammensetzung.

Volumen

Es ist üblich, die Masse von Objekten wahrnehmungsbasiert nach ihrem Volumen zu ordnen. Dieser Aspekt muss sorgfältig berücksichtigt werden, da Schüler leere Objekte als "nichts wiegend" ansehen können.

Zerlegung/Neuzusammensetzung

Wie im Falle der Länge kann der Schüler fehlerhafte Urteile über die Erhaltung der Masse eines Objekts fällen, nachdem es zerlegt und wieder zusammengesetzt wurde. Wenn wir beispielsweise einen Klumpen Ton in verschiedene Stücke zerlegen, kann das Kind annehmen, dass die resultierende Masse nicht mehr dieselbe ist.

2.3. Die Messung der Kapazität bei Kindern

Die Kapazitätsskala wird oft fälschlicherweise als gleichbedeutend mit der Größe Volumen betrachtet. Physisch unterscheiden sie sich nicht, aber ihre mathematischen Modelle sind sehr unterschiedlich: Kapazität ist eine lineare Skala, während Volumen eine trilineare Größenordnung ist.

Wesentliche Aspekte der Schwierigkeiten bei der Kapazitätsmessung

Die wichtigsten Aspekte, die beim Erwerb dieser Größenordnung hervorgehoben werden müssen, sind: die Form und die Zerlegung/Neuzusammensetzung.

Die Form

Beim Vergleich von zwei unterschiedlich geformten Behältern wird die Kapazität üblicherweise anhand der Höhe beurteilt. Bei Kindern in einem bestimmten Alter erfolgt die visuelle Wahrnehmung des Füllstands oft unabhängig von der tatsächlichen Menge der Flüssigkeit, selbst wenn die Flüssigkeit vorhanden ist.

Zerlegung/Neuzusammensetzung

Wie bei anderen Größen kann der Schüler fehlerhafte Urteile über die Erhaltung der Kapazität eines Objekts fällen, nachdem es zerlegt und wieder zusammengesetzt wurde. Wenn der Inhalt eines Behälters in einen anderen Behälter umgefüllt wird, kann das Kind annehmen, dass die Höhe der resultierenden Flüssigkeit nicht mehr dieselbe ist.

3. Behandlungsmöglichkeiten: Das Problem der Messung

Der Prozess beginnt mit einer Reihe von Objekten, deren messbare Eigenschaft (Größe) quantifiziert wird, was zur mathematischen Konstruktion führt.

Die Sinne liefern Informationen zur Beurteilung dieser Eigenschaften oder Attribute, wodurch eine Partition der Menge von Objekten vorgenommen werden kann. Jede dieser Partitionen (in mathematischer Form Äquivalenzklassen genannt) bildet die Größenordnung als eine Menge.

Jede Größenordnung wird durch eine Reihe von Äquivalenten gebildet. Wenn wir zwei Objekte mit unterschiedlicher Masse nehmen, können wir sagen, dass eines schwerer ist als das andere, und somit eine Ordnung herstellen.

Die didaktische Umsetzung der Messung von Größen ist unter anderem durch die Existenz einer Vielzahl von Begriffen und Vokabeln mit fließenden Bedeutungen gekennzeichnet, die mathematische Konzepte und solche unterschiedlicher sozialer Natur austauschbar verwenden.

3.1. Mängel und Probleme im Lehr-Lern-Prozess

Häufig beobachtete Probleme:

• Die Unfähigkeit der Studierenden, unterschiedliche Größenordnungen zu unterscheiden.
• Probleme beim Wechsel von Einheiten innerhalb einer Größenordnung.

Die Messung wird fast immer abstrakt und stark indikativ behandelt, was die eigentliche Messung konkreter Objekte ersetzt (obwohl die meisten im Unterricht vorgeschlagenen Aktivitäten konkrete Objekte verwenden sollten, die durch eine Zahl und eine Einheit ausgedrückt werden).

Daher werden die Vorstellungen von Annäherung, Schätzung und Ordnung einer Größenordnung oft nicht im Klassenzimmer behandelt.

• Die Unkenntnis der üblichen Messmethoden.
• Rechnen statt Messen.
• Probleme mit dem Fachvokabular.
• Die Dialektik von exaktem vs. ungefährem Maß.
• Die Rolle des Fehlers.

"Es ist daher eine eindeutige Substitution des Wissens, in denen die wirklichen Probleme der Messung durch Probleme der Arithmetik ersetzt werden, Messverfahren durch die Verwendung von Formeln, Umrechnungen und Übungen, die mehr als die Hälfte der aufgewendeten Arbeitszeit einnehmen, insofern sie eine Übung in Dezimalzahlen darstellen." (Chamorro, 2003, S. 229)

3.2. Vorschläge zur Progression der Behandlung von Größen: Klassifikation und Sequenz

Die Arbeit zur Konstruktion von Mengen erfordert eine Progression durch verschiedene Klassifikations- und Ordnungsaktivitäten, um eine effektive Lehr-Lern-Sequenz zu ermöglichen.

Für den Verlauf dieser Aktivitäten ist es notwendig, im Unterricht Objekte in ausreichender Zahl und Vielfalt bereitzustellen, um reichhaltige Kontexte für die Schüler zu schaffen, Vergleiche zu fördern, Beziehungen aufzubauen und dem Schüler so weit wie möglich die Schwierigkeiten bei der Isolierung der Größenordnung zu verdeutlichen.

Länge

Durch das Überlagern der Enden von zwei Bändern wird sofort ersichtlich, welches länger ist. Nur wenn kein direkter Vergleich möglich ist, müssen Zwischenmaße verwendet werden, wie z. B. ein Kabel, das kürzer als die zu messende Länge ist, oder eine Kerbe, um den Vergleich mit dem zu messenden Objekt (z. B. einer Schranktür) durchzuführen, oder die Verwendung von Spannweiten, die nacheinander überlagert werden.

Es sollten Beispiele gezeigt werden, die die Notwendigkeit eines direkten Vergleichs bei der Messung belegen.

Kapazität

Beim Umfüllen von Flüssigkeit von einem Behälter in einen anderen basieren Entscheidungen über die Kapazität oft auf der Höhe der Behälter, was eine Fehlerquelle darstellt.

Masse

Beim Wiegen von Objekten in den Händen oder mit einer Doppelwaage informiert uns die Schale, die tiefer fällt, darüber, welches Objekt schwerer ist.

Zeit

Wenn Vergleiche auf dieser Skala durchgeführt werden, ist es sehr schwierig, die Subjektivität der ablaufenden Ereignisse zu ignorieren. Dies erfordert eine hohe Fähigkeit zur Argumentation und Schlussfolgerung. Wenn wir den Start von zwei Ereignissen synchronisieren, ist es leicht zu erkennen, welches von beiden früher endet.

Materialien für den Unterricht

• Masse: Doppelwaage, Sand.
• Länge: Seil oder flexibles Material, starres Band, Maßband, etc.
• Kapazität: Wasser oder andere Flüssigkeiten, Sand, Behälter in verschiedenen Formen und Größen, Messzylinder, etc.
• Zeit: Sanduhr, Stoppuhr, Timer, etc.
• Oberfläche: Transparentpapier, Millimeterpapier, Schere, Tangram, etc.
• Volumen: Polykuben, Festkörper zum Einbeziehen, etc.

3.3. Gesetzliche Ordnungen: Das Metrische System