Festigkeitslehre: Grundlagen und Analyse

1.1 Festigkeitslehre: Eine Einführung

Die Festigkeitslehre untersucht die inneren Kräfte und Verformungen in festen Körpern unter äußerer Belastung. Sie unterscheidet sich von der Mechanik starrer Körper, da sie die Verformbarkeit von Materialien berücksichtigt. Während die Mechanik hauptsächlich die äußeren Kräfte und das Gleichgewicht betrachtet, konzentriert sich die Festigkeitslehre auf die inneren Spannungen und deren Auswirkungen.

Die Verformungen, auch wenn sie klein sind, sind von großer Bedeutung. Die Materialeigenschaften beeinflussen die Wahl und das Design von Strukturen und Maschinen, um Festigkeit und Steifigkeit zu gewährleisten. Ein einfacher Hebel, der ein Gewicht hebt, ist ein Beispiel. Die Mechanik bestimmt die benötigte Kraft, aber die Festigkeitslehre stellt sicher, dass der Hebel nicht bricht oder sich übermäßig verbiegt.

1.2 Schnittgrößenanalyse

Um die inneren Spannungen in einem Körper zu untersuchen, wird ein gedachter Schnitt durch den Körper gelegt (siehe Abbildung 1-2). Die inneren Kräfte in diesem Schnitt müssen im Gleichgewicht mit den äußeren Kräften sein. Das System der inneren Kräfte kann in eine resultierende Kraft und ein resultierendes Moment zerlegt werden.

Die Komponenten dieser Kräfte und Momente werden bezüglich eines Koordinatensystems beschrieben, dessen Ursprung im Schwerpunkt des Schnitts liegt. Die x-Achse steht senkrecht zum Schnitt (Normalenrichtung). Die y- und z-Achsen liegen in der Schnittebene und fallen oft mit den Hauptträgheitsachsen zusammen.

Die Notation in Abbildung 1-3 zeigt die Wirkung und Richtung der Komponenten. Der erste Index bezeichnet die Fläche, auf die die Komponente wirkt, der zweite die Richtung. Zum Beispiel ist Pxy die Kraft, die auf die Fläche X in Richtung Y wirkt.

Komponenten der inneren Schnittgrößen:

• Pxx (Axialkraft): Zug- oder Druckkraft senkrecht zum Schnitt. Zug verlängert, Druck verkürzt den Körper. (Symbol: P)
• Pxy, Pxz (Schubkräfte): Widerstand gegen Verschiebung der Schnittflächen gegeneinander. (Symbol: V, mit Komponenten Vy und Vz)
• Mxx (Torsionsmoment): Widerstand gegen Verdrehung des Körpers. (Symbol: T)
• Mxy, Mxz (Biegemomente): Widerstand gegen Biegung um die y- oder z-Achse. (Symbole: My und Mz)

1.3 Einfache Spannung

Spannung ist die Kraft pro Flächeneinheit, die ein Material aushält. Mathematisch: σ = P/A, wobei σ die Spannung, P die Last und A die Querschnittsfläche ist.

Diese Formel gibt die durchschnittliche Spannung an. Die genaue Bestimmung der Spannung an einem Punkt erfordert die Betrachtung einer differentiellen Kraft dP auf einer differentiellen Fläche dA: σ = dP/dA.

Eine gleichmäßige Spannungsverteilung (einfache Spannung) liegt nur vor, wenn die Resultierende der angreifenden Kräfte durch den Schwerpunkt des Querschnitts geht.

Problem Nr. 01: Spannungsberechnung in zusammengesetztem Stab

Ein Aluminiumrohr ist starr zwischen einer Messingstange und einer Stahlstange eingespannt. Axiale Lasten werden wie in der Abbildung gezeigt aufgebracht. Bestimmen Sie die Spannung in jedem Material.

Lösung:

Um die Spannung in jedem Abschnitt zu berechnen, werden die axialen Lasten in jedem Abschnitt bestimmt (Freikörperbilder):

• Pb = 20 kN (Druck)
• PAl = 5 kN (Druck)
• PSt = 10 kN (Zug)