Formale und Informelle Logik: Grundlagen und Anwendungen

Die Logik und ihr Gegenstand

Definition: Die Logik ist die Wissenschaft, die sich mit dem Studium des formalen Denkens (der Korrektheit und Gültigkeit von Argumentationen) befasst.

Argumentation: Der Prozess, der es uns ermöglicht, aus bekannten Informationen neue Erkenntnisse zu gewinnen.

Argumentation oder Schlussfolgerung

Diese Prozesse ermöglichen es uns, Informationen aus bekannten Daten abzuleiten. Jede Schlussfolgerung besteht aus:

• Prämissen: Eine Menge von Aussagen, die die Ausgangsdaten ausdrücken.
• Konklusion: Die abschließende Aussage, die neue Informationen aus den Prämissen ableitet.

Arten der Argumentation

• Deduktion: Ein Weg von allgemeinen Prämissen zu einer weniger allgemeinen Schlussfolgerung. Wenn eine solche Schlussfolgerung korrekt ist, folgt das Ergebnis notwendigerweise aus den Prämissen: Es ist unmöglich, dass die Prämissen wahr sind und die Schlussfolgerung falsch ist.
• Induktion: Das Erreichen einer allgemeinen Schlussfolgerung aus weniger allgemeinen Informationen, die in den Prämissen enthalten sind. Hier können wir nur von einer Wahrscheinlichkeit sprechen, dass die Schlussfolgerung wahr ist, da die Wahrheit der Prämissen nicht die Wahrheit der endgültigen Schlussfolgerung garantiert.

Die formale Logik

Bereiche der formalen Logik

• Aussagenlogik: Untersucht die formale Gültigkeit von Argumenten, indem sie nur den Wahrheitswert jedes Satzes berücksichtigt. Sie betrachtet Aussagen als Ganzes und analysiert nicht intern Subjekt und Prädikat. Dies führt zu einigen Einschränkungen, insbesondere bei der Feststellung der Gültigkeit von Argumenten, die ohne die Analyse der sie zusammensetzenden Aussagen nicht bestimmt werden können.
• Prädikatenlogik: Analysiert die interne Struktur von Aussagen, indem Sätze betrachtet werden, in denen eine Eigenschaft (Prädikat) einem Subjekt zugeschrieben oder über es ausgesagt wird.
• Klassenlogik: Betrachtet Aussagen als Sätze, die Beziehungen zwischen Individuen und Klassen ausdrücken. Prädikate werden als Eigenschaften von Individuen analysiert, die derselben Klasse oder Reihe von Eigenschaften angehören.
• Relationslogik: Hier müssen Elemente, Symbole und Regeln in die Sprache integriert werden, um Beziehungen auszudrücken.

Die Sprache der Logik

Natürliche Sprache: Die Sprache, die wir in unseren täglichen Gesprächen nutzen.

Die Sprache der Logik ist künstlich; sie wurde bewusst entwickelt, um die Zweideutigkeit und Ungenauigkeit der natürlichen Sprache zu überwinden. Sie ist auch eine formale Sprache, in der alles präzise und rigoros definiert ist.

Bestandteile der logischen Sprache

• Vokabular:
  • Buchstaben: Repräsentieren Aussagen, Namen oder Prädikate in der Argumentation.
  • Symbole: Werden verwendet, um Beziehungen zwischen Begriffen und Aussagen darzustellen.
• Regeln der Formelbildung: Legen fest, welche Kombinationen von Symbolen wohlgeformte Sätze (Formeln der logischen Sprache) sind.
• Regeln der Transformation: Zeigen, wie eine wohlgeformte Formel in eine andere wohlgeformte Formel umgewandelt werden kann.

Alle diese Symbole und Regeln sind klar definiert; diese Eigenschaft der Sprache wird als Präzision bezeichnet.

Die formalen Systeme der Logik

• Konsistenz: Es gibt keinen Widerspruch innerhalb des Systems, da es durch die Transformationsregeln nicht möglich ist, eine Formel und ihr Gegenteil abzuleiten.
• Vollständigkeit: Alle gültigen Formeln sind aus den definierten Transformationsregeln ableitbar.
• Entscheidbarkeit: Das System verfügt über ein mechanisches Verfahren, das es uns erlaubt zu entscheiden, ob eine Formel oder Argumentation gültig ist oder nicht.

Elemente der Aussagenlogik

Aussage: Ein sprachlicher Ausdruck, der wahr oder falsch sein kann.

• Einfache oder atomare Aussage: Kann nicht in weitere Aussagen zerlegt werden.
• Komplexe oder molekulare Aussage: Kann in einfache Aussagen zerlegt werden.

Logische Symbole und Operatoren

• Nicht-logische Symbole:
  • Variablen: Kleinbuchstaben (z.B. p, q, r).
  • Hilfszeichen: Klammern (z.B. (, )).
• Logische Operatoren (Junktoren): Ermöglichen es uns, komplexe Aussagen aus einfachen Aussagen zu bilden.
  • Negation: (¬) Dient dazu, jede Aussage zu negieren.
  • Junktoren: Dienen dazu, einfache Aussagen zu vereinen oder zu verbinden. Es gibt 4 Haupttypen:
    • Konjunktion: ^ (und)
    • Disjunktion: V (oder)
    • Implikation (Konditional): → (wenn... dann...)
    • Bikonditional: ↔ (genau dann, wenn...)

Inferenzregeln und logische Gesetze

Sie können auf zwei Arten dargestellt werden:

• Schematische Darstellung von Schlüssen: Eine schematische Darstellung einer Argumentation. Beispiel: A → B, A ⊢ B (Modus Ponens).
• Logische Gesetze (Tautologien): Eine Formel, die immer wahr ist. Ein logisches Gesetz ist eine Tautologie. Beispiel: [(A → B) ∧ A] → B.