Funktionen: Definition, Typen und Eigenschaften

Funktion: Eine Definition

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, bei der jedem Element der ersten Menge (unabhängige Variable) genau ein Element der zweiten Menge (abhängige Variable) zugeordnet wird.

Definitionsbereich einer Funktion

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller möglichen Werte, die die unabhängige Variable annehmen kann.

Wertebereich einer Funktion

Der Wertebereich einer Funktion ist die Menge aller möglichen Werte, die die abhängige Variable annehmen kann.

Funktionen können durch Tabellen, Graphen und algebraische Formeln dargestellt werden.

Arten von Funktionen

Wachsende Funktionen

Eine Funktion ist wachsend in einem Intervall, wenn für jedes Paar von Werten a und b in diesem Intervall mit a < b gilt, dass die Änderungsrate positiv ist.

Abnehmende Funktionen

Eine Funktion ist abnehmend in einem Intervall, wenn für jedes Paar von Werten a und b in diesem Intervall mit a < b gilt, dass die Änderungsrate negativ ist.

Relative Maxima und Minima

Eine Funktion f hat ein relatives Maximum bei x = a, wenn es eine Umgebung um den Punkt a gibt, in der die Funktionswerte kleiner oder gleich f(a) sind.

Eine Funktion f hat ein relatives Minimum bei x = a, wenn es eine Umgebung um den Punkt a gibt, in der die Funktionswerte größer oder gleich f(a) sind.

Absolute Maxima und Minima

Eine Funktion f hat ein absolutes Maximum bei x = a, wenn f(a) größer oder gleich dem Wert von f(x) für alle x im Definitionsbereich der Funktion ist.

Eine Funktion f hat ein absolutes Minimum bei x = a, wenn f(a) kleiner oder gleich dem Wert von f(x) für alle x im Definitionsbereich der Funktion ist.

Periodische Funktionen

Eine Funktion ist periodisch, wenn es eine reelle Konstante T gibt, die zu ihrem Definitionsbereich gehört, so dass f(x + T) = f(x) für alle Werte von x im Definitionsbereich gilt.

Beschränkte Funktionen

Eine Funktion ist nach unten beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k gibt, so dass für alle x gilt: f(x) > k. Die Zahl k heißt untere Schranke.

Eine Funktion ist nach oben beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k' gibt, so dass für alle x gilt: f(x) < k'. Die Zahl k' heißt obere Schranke.

Symmetrische Funktionen

Eine Funktion f ist symmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x im Definitionsbereich gilt: f(-x) = f(x). Diese Funktionen werden auch als gerade Funktionen bezeichnet.

Eine Funktion f ist symmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x im Definitionsbereich gilt: f(-x) = -f(x). Diese Funktionen werden auch als ungerade Funktionen bezeichnet.