Funktionen: Ein umfassender Überblick

Was ist eine Funktion?

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Variablen, so dass jedem Wert der ersten Variable (der unabhängigen Variable) genau ein Wert der zweiten Variable (der abhängigen Variable) entspricht.

Schlüsselbegriffe

• Unabhängige Variable: Die Variable, deren Werte frei gewählt werden können (üblicherweise mit 'x' bezeichnet).
• Abhängige Variable: Die Variable, deren Werte von der unabhängigen Variable abhängen (üblicherweise mit 'y' oder 'f(x)' bezeichnet).
• Definitionsbereich: Die Menge aller Werte, die die unabhängige Variable annehmen kann.
• Wertebereich (Bildbereich): Die Menge aller Werte, die die abhängige Variable annehmen kann.

Verhalten von Funktionen

• Steigende Funktion: Wenn die Werte der abhängigen Variable zunehmen, wenn die Werte der unabhängigen Variable zunehmen.
• Fallende Funktion: Wenn die Werte der abhängigen Variable abnehmen, wenn die Werte der unabhängigen Variable zunehmen.
• Durchschnittliche Änderungsrate (TVM): Berechnet als (f(b) - f(a)) / (b - a) für ein Intervall [a, b]. Sie gibt die durchschnittliche Steigung der Funktion in diesem Intervall an.

Extrema und Wendepunkte

• Maximum: Ein Punkt, an dem der Funktionswert größer ist als an allen benachbarten Punkten.
• Minimum: Ein Punkt, an dem der Funktionswert kleiner ist als an allen benachbarten Punkten.
• Konvex: Der Graph der Funktion krümmt sich nach oben (wie ein "U"). Die durchschnittliche Änderungsrate wird immer kleiner.
• Konkav: Der Graph der Funktion krümmt sich nach unten (wie ein umgekehrtes "U"). Die durchschnittliche Änderungsrate wird immer größer.
• Wendepunkt: Ein Punkt, an dem der Graph der Funktion seine Krümmung ändert (von konvex zu konkav oder umgekehrt).

Stetigkeit und Symmetrie

• Stetige Funktion: Der Graph kann ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden.
• Diskontinuierliche Funktion: Der Graph weist Unterbrechungen auf.
• Symmetrie zur y-Achse: Für jeden Wert x und -x ist der Funktionswert gleich (f(x) = f(-x)).
• Symmetrie zum Ursprung: Für jeden Wert x ist f(x) = -f(-x).
• Periodische Funktion: Die Funktionswerte wiederholen sich in regelmäßigen Abständen (Periode T).

Spezielle Funktionstypen

• Konstante Funktion: f(x) = k (k ist eine reelle Zahl). Der Graph ist eine horizontale Linie.
• Lineare Funktion: f(x) = mx (m ist eine reelle Zahl, m ≠ 0). Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. Beschreibt direkte Proportionalität.
• Affine Funktion: f(x) = mx + b (m und b sind reelle Zahlen, m ≠ 0). Der Graph ist eine Gerade.
• Quadratische Funktion: Der algebraische Ausdruck ist ein quadratischer Term.

Proportionalität

• Direkte Proportionalität: Wenn sich eine Größe verdoppelt (verdreifacht), verdoppelt (verdreifacht) sich auch die andere Größe.
• Indirekte (umgekehrte) Proportionalität: Wenn sich eine Größe verdoppelt (verdreifacht), halbiert (drittelt) sich die andere Größe. Das Produkt der entsprechenden Werte ist konstant (die umgekehrte Proportionalitätskonstante).
• Umgekehrt proportionale Funktion: Die Werte der abhängigen Variable ergeben sich durch Division einer Konstante durch die Werte der unabhängigen Variable.