Geometrie: Geraden, Kreise, Parabeln, Ellipsen & mehr

Grundlagen der Geometrie: Geraden, Kreise und Kegelschnitte

Geraden

Steigung
Definition: Die Steigung einer Geraden.

Neigung
Definition: Die Neigung einer Geraden.

Parallele Geraden
Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind: L₁ // L₂, wenn m₁ = m₂
Für den Winkel Theta gilt ein Zusammenhang mit der Steigung.

Senkrechte Geraden

Zwei Geraden sind senkrecht zueinander, wenn sie einen Winkel von 90° bilden. Das Produkt ihrer Steigungen ist -1:
(m₁) * (m₂) = -1

Allgemeine Gleichung der Geraden

Die allgemeine Gleichung einer Geraden wird durch die Steigung (m) und einen Punkt auf der Geraden (x₁, y₁) bestimmt. Die Punkte (x, y) sind variabel.

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt einer Strecke mit den Endpunkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) wird wie folgt berechnet:
((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)

Gleichung der Geraden durch zwei Punkte

Um die Gleichung einer Geraden zu erhalten, benötigt man die Steigung und einen Punkt auf der Geraden: P(x, y).

Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Formel: (Hier sollte die Formel für den Abstand eines Punktes zu einer Geraden eingefügt werden)

Steigung der Geradengleichung

(m = Steigung)
Lösen Sie die Gleichung nach Y auf, um die Steigung zu bestimmen.

Kreise

Kreis mit dem Mittelpunkt (h, k)

Kartesische Gleichung des Kreises: (x - h)² + (y - k)² = r²

Die Punkte (h, k) sind der Mittelpunkt des Kreises.

Beispiel: (x - 5)² = x² - 2(x)(5) + 5² = x² - 10x + 25. Der zweite Term (Koeffizient) wird durch 2 geteilt.
Um den dritten Term zu erhalten, ist Folgendes wichtig:

Es ist die gleiche allgemeine Formel (Entwicklung).

Parabeln

Parabel mit Scheitel im Ursprung

Es gibt 4 Fälle:

• Öffnung nach oben: Fokus (0, p) --- Leitlinie: y = -p
• Öffnung nach rechts: Fokus (p, 0) --- Leitlinie: x = -p
• Öffnung nach links: Fokus (-p, 0) --- Leitlinie: x = p
• Öffnung nach unten: Fokus (0, -p) --- Leitlinie: y = p

Parabel mit Scheitelpunkt außerhalb des Ursprungs

Öffnung nach oben
Fokus (h, k + p)
LR = 4p
Leitlinie: y = k - p

Öffnung nach unten
Fokus (h, k - p)
LR = 4p
Leitlinie: y = k + p

Öffnung nach rechts
Fokus (h + p, k)
Leitlinie: x = h - p

Öffnung nach links
Fokus (h - p, k)
Leitlinie: x = h - p

Ellipsen

Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung und Fokus auf der x-Achse

Gleichung: x²/a² + y²/b² = 1

Hauptachse = 2a
Nebenachse = 2b

Fokus: (c, 0) und (-c, 0)

Ecken: (-a, 0), (a, 0), (0, -b), (0, b)
Exzentrizität: e = c/a

c² = a² - b²

LR = 2b²/a

Ellipse mit Mittelpunkt im Ursprung und Fokus auf der y-Achse

Gleichung: x²/b² + y²/a² = 1

Hauptachse = 2a
Nebenachse = 2b

Fokus: (0, c) und (0, -c)

Ecken: (0, a), (0, -a), (b, 0), (-b, 0)

Grundrechenarten

Rechnen mit Brüchen

Addition:
Subtraktion:
Multiplikation:

Vorzeichenregeln

Multiplikation:
(-) * (-) = +
(+) * (+) = +
(-) * (+) = -
(+) * (-) = -

Umkehrung von Operationen

- wird zu +
+ wird zu -
/ wird zu *
* wird zu /