Geometrie Grundlagen: Elemente, Winkel, Polygone & Kreise

Thema 7 Zusammenfassung: Geometrische Grundlagen

Elemente der Ebene

1. Koordinatensystem

   Erlaubt uns, Elemente in einer Ebene zu repräsentieren.

2. Punkt

   Definiert durch seine Koordinaten und wird in der Regel benannt.

3. Gerade

   Unendliche Menge von Punkten in die gleiche Richtung.

4. Strahl (Halbgerade)

   Bildet immer einen der beiden Teile einer Geraden, wenn wir sie darauf betrachten.

5. Strecke (Segment)

   Teil einer Geraden zwischen zwei Punkten.

   Klassifizierung von Strecken:

   • Nullsegment: Seine Endpunkte fallen an der gleichen Stelle zusammen.
   • Aufeinanderfolgende Strecken: Sind diejenigen, die ein Ende gemeinsam haben.
   • Kollineare Strecken: Liegen auf derselben Geraden.

Winkel

Region der Ebene, bestimmt durch zwei Halbgeraden (Schenkel), die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben. Er wird in Grad und Radiant gemessen.

Winkelarten nach Maß

Winkelbeziehungen

• Angrenzende Winkel: Haben denselben Scheitelpunkt und eine Seite gemeinsam.
• Nebenwinkel: Sie liegen auf einer Geraden und ergänzen sich zu 180 °.
• Scheitelwinkel (Vertikalwinkel): Haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt, und ihre Seiten sind die Verlängerungen voneinander. Sie sind gleich groß.
• Supplementärwinkel: Winkel, deren Summe 180 ° beträgt.

Winkel zwischen zwei Geraden und einer Transversalen

Winkel, die entstehen, wenn eine Transversale zwei (parallele) Geraden schneidet.

• Korrespondierende Winkel: (1,5; 2,6; 3,7; 4,8) sind gleich.
• Wechselwinkel (innen): (3,6; 4,5) sind gleich.
• Wechselwinkel (außen): (1,8; 2,7) sind gleich.

Polygone

Flache oder ebene Region, die von einer geschlossenen polygonalen Linie umschlossen wird.

Elemente eines Polygons

• Seite: Jedes der Segmente, aus denen das Polygon besteht.
• Eckpunkt (Vertex): Punkt, an dem die Seiten zusammentreffen.
• Diagonale: Segment, das zwei nicht aufeinanderfolgende Eckpunkte verbindet.
• Innenwinkel eines Polygons: Winkel, die durch die Seiten im Inneren des Polygons gebildet werden.

Klassifizierung von Polygonen

• Konvex: Alle Innenwinkel sind kleiner als 180 °.
• Konkav: Mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180 °.

Elemente eines regulären Polygons

• Mittelpunkt (Center): Punkt, der von allen Eckpunkten gleich weit entfernt ist.
• Radius: Abstand zwischen dem Mittelpunkt und einem Eckpunkt.
• Umkreis: Kreislinie, die das Polygon umschließt und durch alle Eckpunkte geht.
• Apotheme: Abstand zwischen dem Mittelpunkt und dem Mittelpunkt jeder Seite.
• Inkreis: Kreislinie, die im Polygon enthalten ist und alle Seiten in ihrem Mittelpunkt berührt.

Dreiecke

Polygone mit drei Seiten. Sie haben keine Diagonalen. Die Summe der drei Innenwinkel beträgt 180 °.

Besondere Linien im Dreieck

• Höhen eines Dreiecks

  Linien durch jeden Eckpunkt, die senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite stehen.

  Schnittpunkt: Höhenschnittpunkt (Orthozentrum). Die Höhe eines Dreiecks ist der Abstand vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite.

• Seitenhalbierende (Mediane)

  Sie gehen durch den Scheitelpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

  Schnittpunkt: Schwerpunkt (Varizentrum).

• Mittelsenkrechten eines Dreiecks

  Sind senkrechte Linien auf jeder Seite in ihrem Mittelpunkt.

  Schnittpunkt: Umkreismittelpunkt (Zirkumzentrum). Der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt des Umkreises.

• Winkelhalbierende eines Dreiecks

  Sind die Linien, die jeden Winkel in zwei gleiche Teile teilen.

  Schnittpunkt: Inkreismittelpunkt (Inzentrum). Das Inzentrum ist der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises (Inkreises).

Vierecke

Polygone mit vier Seiten und zwei Diagonalen. Die Summe der Innenwinkel beträgt 360 Grad.

Klassifizierung von Vierecken

Parallelogramme:

• Quadrat: Alle Seiten und alle Winkel (90°) sind gleich.
• Rechteck: Gegenüberliegende Seiten sind gleich, alle Winkel sind gleich (90°).
• Raute (Rhombus): Alle Seiten sind gleich, gegenüberliegende Winkel sind gleich.
• Parallelogramm (Rhomboid): Gegenüberliegende Seiten und Winkel sind gleich.

Nicht-Parallelogramme:

• Trapez: Hat zwei parallele Seiten.
• Trapezoid: Hat keine parallelen Seiten.

Kreisfiguren

Elemente der Kreislinie und des Kreises

• Kreislinie (Umfang): Menge von Punkten, die gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Der Abstand wird als Radius bezeichnet.
• Sehne: Segment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet.
• Durchmesser: Sehne, die durch den Mittelpunkt geht.
• Kreisbogen (Arc): Teil der Kreislinie zwischen zwei Punkten.
• Halbkreis: Jeder der Bögen, die ein Durchmesser erzeugt.
• Kreis: Region der Ebene, die innerhalb der Kreislinie enthalten ist.

Flächen innerhalb eines Kreises

• Kreissegment: Teil des Kreises, begrenzt durch eine Sehne und den entsprechenden Bogen.
• Halbkreis: Ein Kreissegment, dessen Sehne der Durchmesser ist.
• Kreissektor (Pie): Die Fläche des Kreises, bestimmt durch zwei Radien und den entsprechenden Kreisbogen.
• Kreisring (Annulus): Fläche zwischen zwei konzentrischen Kreisen.

Relative Position von einem Kreis und einer Linie

Formeln und Berechnungen

• Fläche eines Kreises:
• Bogenlänge:
• Länge eines Kreises (Umfang):
• Anzahl der Diagonalen eines Polygons:
• Summe der Innenwinkel eines Polygons:
• Der Umfang eines regulären Polygons:
• Fläche eines Dreiecks:
• Satz des Pythagoras:
• Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks:

Fläche der Vierecke

Winkelberechnungen

• Größe des Zentriwinkels in einem regulären Polygon:
• Innenwinkel eines regulären Polygons: