Geometrie: Positionen, Winkel, Abstände

Relative Positionen

Verkauf, wenn der Rang = 0 ist

Wenn der Rang 0 ist, schneiden sie sich. Man erhält 1, 3 Ebenen schneiden sich, sie sind horizontal. Sie bleiben mit Rang 2.

Position 3 Ebenen

• a) Wenn sich *k* in einem Punkt schneidet = Rang: 3
• b) Wenn sich *k* in einer Geraden schneidet = Rang: 2. Um dies zu berechnen, Gleichung der Geraden:

1. i j k = vd; später, x = 0, y. Man erhält zwei Geraden, eine Zapfwelle berechnen, das System lösen.
2. Vektorgleichung = (x, y, z) pt + λ(vd).

Und wenn da Rang 1 und 2 sind: parallel.

Position 2 Geraden

• a) Wenn die Determinante der beiden Richtungsvektoren (vd) und der Vektor, der die beiden Punkte verbindet, = 0 ist, schneiden sie sich. Determinante: (in vertikalen Vektor in jedem platzieren)
• Um die Schnittpunkte in *k* zu kennen, werden die Geraden in Parameterform umgewandelt.
• b) Wenn die beiden Richtungsvektoren proportional sind, sind die Geraden parallel.

Position einer Geraden und einer Ebene

1. Der Rang ist: (wenn Rang = 3, schneiden sich Punkt und Gerade; wenn Rang = 2 und 3, sind sie parallel; wenn Rang = 2, ist die Gerade in der Ebene enthalten).
2. Um den Schnittpunkt der Geraden zu bestimmen, übergibt man die Parameter in der Ebene = λ ersetzen, und was auch immer herauskommt, ersetzt man *k* im Lauf = Punkt.

Winkel

Zwischen zwei Ebenen

cos(π, π) = (A,B,C) · (A',B',C') / [√(A² + B² + C²) · √(A'² + B'² + C'²)]

Komponenten quadriert.

Zwischen Gerade und Ebene

Man erhält den Richtungsvektor (vd) der Geraden, für die Determinante, i j k = vd; danach den Normalenvektor (vn) der Ebene = cos(n, u).

(A·u + B·v + C·w) / [√(A² + B² + C²) · √(u² + v² + w²)]

Alle Komponenten quadriert.

Zwischen zwei Geraden

Man nimmt die Richtungsvektoren der beiden Geraden, dann ist es: das Produkt vd1·vd2 zwischen der Wurzel der Komponenten jedes vd zum Quadrat.

Abstände

Abstand zwischen zwei Punkten

d(p, q) = √[(x - x')² + (y - y')² + (z - z')²]

Abstand zwischen Ebene und Punkt

d(π, pt) = |A·x + B·y + C·z + D| / √(A² + B² + C²)

Komponenten quadriert.

Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen

1. i j k Vektor der 2. Ebene = Vektor senkrecht zur 2. Ebene (dies nur, wenn man die 2. Ebene hat (x, y, z) = (a, b, c) + λ(v1, v2, v3) + μ(w1, w2, w3)), dann ist es der Abstand zwischen den Punkten der 2. Ebene (a, b, c) und der 1. Ebene.

Abstand zwischen Punkt und Gerade

Die Gerade mal dem Richtungsvektor (vd) mal dem Normalenvektor (vn), die Zapfwelle gegeben und die Gerade zwischen der Wurzel des vd, die Komponenten quadriert.

d(pt, Gerade) = |vd x vn| / √vd²

Abstand zwischen zwei sich kreuzenden Geraden

Das Produkt der beiden Richtungsvektoren (vd), mal Vl, *k* ist die 2 Punkte durch eine Linie zwischen dem Modul vdxvn = i j k.

Gleichung der Geraden durch eine Zapfwelle und berührt zwei Geraden

Man ersetzt die Zapfwelle auf den beiden Geraden, und jede Ebene kommt heraus, die später mit den anderen *k* gelöst wird. (Es kommen Ebenen der Geraden heraus, die durch den Schnittpunkt der beiden gegeben ist).

Fläche eines Dreiecks

½ · |AC x AB| (i j k ist getan).

Volumen eines Tetraeders ABCD

⅙ · |det(AB, AC, AD)|