Geometrieaufgaben: Punkte, Geraden und Ebenen im Raum

Die Punkte A (-2, 3, 1), B (2, -1, 3) und C (0, 1, -2) sind aufeinanderfolgende Ecken des Parallelogramms ABCD.

(a) [1 Punkt] Finden Sie die Koordinaten von D.

Wenn ABCD ein Parallelogramm ist, sind die Vektoren AB und DC gleich:

AB = (4, -4, 2)
DC = (-x, 1-y, -2-z)

Durch Gleichsetzen der Koordinaten erhalten wir x = -4, y = 5 und z = -4. Der fehlende Punkt ist D (-4, 5, -4).

(b) [1 Punkt] Finden Sie die Gleichung der Geraden durch B, die parallel zur Diagonale AC ist.

Die Gerade geht durch B (2, -1, 3) und hat den Richtungsvektor AC = (2, -2, -3). Die Parametergleichung lautet:

x = 2 + 2t
y = -1 - 2t
z = 3 - 3t

(c) [0,5 Punkte] Finden Sie die Gleichung der Ebene, die das Parallelogramm enthält.

Die Ebene wird durch den Punkt B (2, -1, 3) und die linear unabhängigen Vektoren BA = (-4, 4, -2) und BC = (-2, 2, -5) aufgespannt. Die Parametergleichung lautet:

x = 2 - 4λ - 2μ
y = -1 + 4λ + 2μ
z = 3 - 2λ - 5μ
mit λ, μ ∈ ℝ

Gegeben ist die Gerade r durch das Gleichungssystem 2x + y - mz = 2 und x - y - z = -m sowie die Ebene π durch x + my - z = 1.

(a) [1 Punkt] Gibt es einen Wert von m, für den r und π parallel zueinander sind?

Ein Richtungsvektor der Geraden r ist das Vektorprodukt der Normalenvektoren der beiden Ebenen, die r definieren:

u = i j k
    2   1 -m
    1 -1 -1
= i(-1 - m) - j(-2 + m) + k(-3) = (-1 - m, 2 - m, -3)

Ein Normalenvektor der Ebene π ist n = (1, m, -1).

Wenn die Gerade r parallel zur Ebene π ist, muss der Richtungsvektor u senkrecht zum Normalenvektor n stehen, d.h. ihr Skalarprodukt ist Null:

u • n = 0 = (-1 - m, 2 - m, -3) • (1, m, -1) = -1 - m + 2m - m + 3 = -m² + m + 2 = 0

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind m = -1 und m = 2. Das bedeutet, dass für m = -1 und m = 2 die Gerade r parallel zur Ebene π ist.

(b) [1 Punkt] Für welchen Wert von m liegt die Gerade in der Ebene?

Wenn die Gerade in der Ebene enthalten sein soll, muss sie parallel sein (siehe (a)). Wir haben gesehen, dass m = -1 oder m = 2 sein muss. Wir setzen diese Werte in das Gleichungssystem ein und prüfen, wann es unendlich viele Lösungen hat (zwei Gleichungen und drei Unbekannte).

Wenn m = -1, ist das System: 2x + y + z = 2 x - y - z = 1 x - y - z = 1

Die zweite und dritte Gleichung sind identisch, also haben wir nur zwei unabhängige Gleichungen und drei Unbekannte. Daher liegt für m = -1 die Gerade r in der Ebene π.

Wenn m = 2, ist das System: 2x + y - 2z = 2 x - y - z = -2 x + 2y - z = 1

Wenn wir die zweite und dritte Gleichung addieren, erhalten wir 2x + y - 2z = -1. Dies steht im Widerspruch zur ersten Gleichung (2x + y - 2z = 2). Daher ist für m = 2 die Gerade parallel zur Ebene, aber nicht in ihr enthalten.

(c) [0,5 Punkte] Wie ist die relative Position der Geraden und der Ebene, wenn m = 0?

Für m = 0 erhalten wir das System: 2x + y = 2 x - y - z = 0 x - z = 1

Aus der dritten Gleichung folgt z = x - 1. Setzen wir dies in die zweite Gleichung ein, erhalten wir y = 1. Setzen wir y = 1 in die erste Gleichung ein, erhalten wir x = 1/2. Daraus folgt z = -1/2. Der Schnittpunkt ist also (1/2, 1, -1/2).

Die Gerade schneidet die Ebene in diesem Punkt.