Geometrische Konstruktionen: Dreiecke, Polygone und Tangenten

Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks

1. Zeichnen Sie eine Strecke AB mit der gegebenen Seitenlänge.
2. Zeichnen Sie mit dem Zirkel, dessen Öffnung der Strecke AB entspricht, nacheinander Bögen um die Punkte A und B als Mittelpunkt. Die Schnittpunkte der beiden Bögen bestimmen den Punkt C, der die dritte Ecke des Dreiecks bildet.
3. Verbinden Sie die Punkte C mit A und B, um das gleichseitige Dreieck zu erhalten.

Konstruktion eines Quadrats

1. Zeichnen Sie die gegebene Seite AB.
2. Errichten Sie an den Punkten A und B jeweils eine Senkrechte zur Strecke AB. Zeichnen Sie von Punkt A eine Linie, die mit der Seite AB einen Winkel von 45° bildet. Diese Linie schneidet die Senkrechte von B im Punkt C.
3. Zeichnen Sie eine Parallele zu AB durch den Punkt C. Der Schnittpunkt mit der Senkrechten von A bildet den vierten Eckpunkt. So erhalten Sie das Quadrat.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks

1. Zeichnen Sie die Seite AB mit der angegebenen Länge und konstruieren Sie deren Mittelsenkrechte, um den Punkt P zu erhalten.
2. Errichten Sie eine Senkrechte zu AB im Punkt B. Zeichnen Sie von B aus einen Bogen mit dem Radius BA, der die Senkrechte im Punkt J schneidet.
3. Zeichnen Sie mit dem Mittelpunkt P und dem Radius PJ einen Bogen, der die Verlängerung von AB im Punkt M schneidet.
4. Zeichnen Sie mit dem Mittelpunkt A und dem Radius AM einen Bogen, der die Mittelsenkrechte von AB im Punkt D schneidet.
5. Zeichnen Sie schließlich Bögen mit dem Mittelpunkt D und dem Radius gleich der Seitenlänge AB. Diese Bögen schneiden sich mit Bögen, die von A und B mit dem Radius AB gezeichnet werden, um die Punkte C und E zu bestimmen, die die verbleibenden Eckpunkte des Fünfecks sind. Das Fünfeck wird durch Verbinden der Punkte A, B, C, D und E gebildet.

Konstruktion eines regelmäßigen Sechsecks

Das regelmäßige Sechseck ist das einzige regelmäßige Polygon, bei dem die Seitenlänge gleich dem Radius seines Umkreises ist. Dies macht seine Konstruktion besonders einfach, da es immer auf die gleiche Weise konstruiert werden kann, wenn entweder die Seitenlänge oder der Umkreisradius gegeben ist.

1. Zeichnen Sie einen Kreis mit dem Radius r, der der gegebenen Seitenlänge entspricht. Zeichnen Sie einen Durchmesser, z.B. AD.
2. Zeichnen Sie mit dem Mittelpunkt A und dem Radius AO (Radius des Kreises) einen Bogen, der den Umfang an den Punkten B und F schneidet. Ebenso zeichnen Sie mit dem Mittelpunkt D und dem Radius DO einen Bogen, der den Umfang an den Punkten E und C schneidet.
3. Verbinden Sie diese Punkte (A, B, C, D, E, F) nacheinander, um das Sechseck zu erhalten.

Konstruktion eines regelmäßigen Siebenecks

1. Zeichnen Sie die Seite AB und errichten Sie eine Senkrechte an einem Ende, z.B. an B. Zeichnen Sie auch die Mittelsenkrechte dieser Seite.
2. Konstruieren Sie am Punkt A auf der Strecke AB einen Winkel von 30°. Verlängern Sie die Seite, bis sie die Senkrechte von B im Punkt P schneidet. Dieser 30-Grad-Winkel kann mit einem Geodreieck oder Zirkel konstruiert werden.
3. Zeichnen Sie mit dem Mittelpunkt A und dem Radius AP einen Bogen, der die Mittelsenkrechte von AB schneidet. (Weitere Informationen zur Fertigstellung des Siebenecks fehlen hier.)

Tangenten: Grundlagen und Eigenschaften

Man sagt, dass zwei Figuren sich berühren, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben, der als Berührungspunkt bekannt ist. Die harmonische Verbindung von Kurven und Geraden oder von Kurven untereinander wird als Übergang bezeichnet, und die Verbindung muss über den Berührungspunkt erfolgen.

Tangenten können zwischen Kreisen, zwischen Kreisen und Geraden, zwischen Polygonen und Geraden, zwischen Kreisen und Polygonen usw. auftreten. Die häufigsten Tangenten in geometrischen Konstruktionen sind jedoch jene, die zwischen Geraden und Kreisen sowie zwischen Kreisen untereinander erzeugt werden.

Grundeigenschaften von Tangenten

Um exakte Tangentenkonstruktionen durchzuführen, sind die folgenden Sätze zu beachten:

• Erster Satz: Eine Gerade ist Tangente an einen Kreis, wenn sie diesen nur in einem einzigen Punkt (M) berührt und die Gerade senkrecht zum Radius des Kreises in diesem Berührungspunkt steht.
• Zweiter Satz: Ein Kreis ist Tangente an zwei sich schneidende Geraden, wenn sein Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden zwischen diesen Geraden liegt.
• Dritter Satz: Zwei Kreise berühren sich, wenn sie einen gemeinsamen Punkt (N) haben, der mit den Mittelpunkten der Kreise auf einer Geraden liegt.

Tangente an Kreis durch Punkt auf dem Kreis

1. Zeichnen Sie den Radius vom Mittelpunkt O zum Punkt P (OP).
2. Errichten Sie durch den Punkt P eine Senkrechte zum Radius OP. Diese Senkrechte ist die gesuchte Tangente.

Tangenten an Kreis von Punkt außerhalb des Kreises

1. Verbinden Sie den Punkt P mit dem Mittelpunkt des Kreises, O. Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte der Strecke OP, um den Mittelpunkt H zu erhalten.
2. Zeichnen Sie mit dem Mittelpunkt H und dem Radius HO einen Bogen, der den gegebenen Kreis in den Punkten M und M' schneidet. Dies sind die Berührungspunkte.
3. Verbinden Sie den Punkt P mit M und M', um die Tangenten r und s zu erhalten.

Kreis mit Radius r, tangential zu zwei sich schneidenden Geraden

1. Konstruieren Sie die Winkelhalbierende des Winkels, der von den Geraden r und s gebildet wird.
2. Zeichnen Sie eine Gerade t, die parallel zu einer der gegebenen Geraden ist und einen Abstand von r (dem bekannten Radius) zu ihr hat. Der Schnittpunkt von t mit der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des zu zeichnenden Kreises.
3. Die Berührungspunkte M und M' sind die Fußpunkte der Lote vom Kreismittelpunkt auf die Geraden r und s.

Kreis durch Punkte A und P, tangential zu Gerade r

1. Da A und P Punkte auf dem gesuchten Kreis sind, muss dessen Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten der Strecke AP liegen.
2. Wenn P der Berührungspunkt auf der Geraden r ist, dann ist O (der Mittelpunkt des Kreises) der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AP mit der Senkrechten zu r durch P.

Externe Tangenten an zwei Kreise

1. Verbinden Sie die Mittelpunkte O und O' der beiden Kreise.
2. Zeichnen Sie einen Hilfskreis um den Mittelpunkt des größeren Kreises (O) mit einem Radius, der der Differenz der beiden Radien entspricht (R_groß - R_klein).
3. Konstruieren Sie die Tangenten von O' an diesen Hilfskreis. Die Berührungspunkte auf dem Hilfskreis seien M und M'.
4. Zeichnen Sie Geraden durch O und M bzw. O und M'. Diese Geraden schneiden den größeren Kreis in den Berührungspunkten U und V.
5. Zeichnen Sie Radien im kleineren Kreis (O'S und O'T), die parallel zu OU und OV sind. S und T sind die Berührungspunkte auf dem kleineren Kreis.
6. Verbinden Sie U mit S und V mit T, um die externen Tangenten zu erhalten.

Interne Tangenten an zwei Kreise

1. Verbinden Sie die Mittelpunkte O und O' der beiden Kreise.
2. Zeichnen Sie einen Hilfskreis um den Mittelpunkt des größeren Kreises (O) mit einem Radius, der der Summe der beiden Radien entspricht (R_groß + R_klein).
3. Konstruieren Sie die Tangenten von O' an diesen Hilfskreis. Die Berührungspunkte auf dem Hilfskreis seien M und M'.
4. Zeichnen Sie Geraden durch O und M bzw. O und M'. Diese Geraden schneiden den größeren Kreis in den Berührungspunkten U und V.
5. Zeichnen Sie Radien im kleineren Kreis (O'S und O'T), die parallel zu OU und OV sind, aber in entgegengesetzter Richtung.
6. Verbinden Sie U mit S und V mit T, um die internen Tangenten zu erhalten.

Kreis mit Radius r, tangential zu Kreis (extern)

1. Zeichnen Sie einen Kreis um den Mittelpunkt P des gegebenen Kreises mit dem Radius (Radius des Kreises um P + r).
2. Wählen Sie einen beliebigen Punkt auf diesem neuen Kreis als Mittelpunkt O' des gesuchten Kreises.
3. Zeichnen Sie einen Kreis mit dem Mittelpunkt O' und dem Radius r. Dieser Kreis ist extern tangential zum Kreis um P.

Kreis tangential zu Kreis in M und durch Punkt N

1. Da M und N Punkte auf dem gesuchten Kreis sind, muss dessen Mittelpunkt auf der Mittelsenkrechten der Strecke MN liegen.
2. Verbinden Sie den Mittelpunkt des gegebenen Kreises (O) mit dem Berührungspunkt M. Der Mittelpunkt des gesuchten Kreises (O') liegt auf der Geraden OM. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Mittelsenkrechten von MN ist der Mittelpunkt O' des gesuchten Kreises. Zeichnen Sie dann den Kreis mit dem Mittelpunkt O' und dem Radius O'N.

Kreis mit Radius r, tangential zu Kreis und Gerade

1. Zeichnen Sie einen Hilfskreis um den Mittelpunkt des gegebenen Kreises (O) mit einem Radius, der der Summe des Radius des gegebenen Kreises und des bekannten Radius r entspricht (R_gegeben + r).
2. Zeichnen Sie eine Gerade parallel zur gegebenen Geraden, die einen Abstand von r (dem bekannten Radius) zu ihr hat. Der Schnittpunkt dieses Hilfskreises mit der parallelen Geraden ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreises. Die Berührungspunkte M und N sind die Fußpunkte der Lote vom Kreismittelpunkt auf den gegebenen Kreis und die Gerade.