Geometrische Konstruktionen: Kegelschnitte & Ovale

Oval Nebenachse

Wenn wir die Strecke CD haben, die vertikal platziert ist und deren Mitte das Zentrum O ist, zeichnen wir einen Kreisbogen mit Zentrum O und Radius OC. Die vertikale Linie, die durch O geht, schneidet diesen Kreisbogen in N und M. Verbinde C mit M und N, und D mit M und N.

Oval Hauptachse

Gegeben sei die Strecke AB, die in 3 Teile unterteilt ist. Mit Zentrum in Punkt 1 zeichne einen Kreisbogen durch A. Mit Zentrum in Punkt 2 zeichne einen Kreisbogen durch B. Die Schnittpunkte der Kreisbögen sind M und N. Verbinde M und N mit den Punkten 1 und 2.

Oval mit 2 Achsen

Gegeben seien die Achsen AB und CD, die sich in O halbieren. Wir messen die Strecke OA und zeichnen von O aus einen vertikalen Bogen (Punkt T). Verbinde A mit C. Nimm die gemessene Strecke AT und trage sie auf der Geraden AC ab. Zeichne die Mittelsenkrechte der Strecke AC. Diese schneidet den Bogen vor T und die Achse AB. Dieser Punkt auf AB (nennen wir ihn P1) und der Punkt auf CD (nennen wir ihn P2) sind Zentren. Diese 2 Punkte sind auch mit D verbunden (gemeint sind die gespiegelten Zentren).

Ovoid Nebenachse

Gegeben sei die Strecke CD. Zeichne die Mittelsenkrechte. Von O (Mitte von CD) zeichne einen Kreisbogen mit Radius OC. Die Mittelsenkrechte schneidet den Kreisbogen in P. Verbinde P mit C und D.

Ovoid Achse

Gegeben sei die vertikale Achse AB. Teile sie in 6 gleiche Teile. Von Punkt 2 (vom Ende A aus gezählt) zeichne eine horizontale Linie. Mit Zentrum in Punkt 2 zeichne einen Kreisbogen durch A. Mit Zentrum in Punkt 5 (vom Ende A aus gezählt) zeichne einen Kreisbogen durch B. Diese Kreisbögen schneiden die horizontale Linie in R und S. Verbinde R und S mit den Punkten 2 und 5.

Ovoid mit 2 Achsen

Gegeben sei die Strecke CD, deren Mitte O ist. Zeichne eine horizontale Linie. Mit Zentrum O zeichne einen Kreisbogen mit Radius OC. Zeichne die Winkelhalbierende, die durch CD geht. Wo ein Schnittpunkt nach oben und unten ist, ist P. Mit Zentrum P zeichne einen Kreisbogen, der durch O geht. Wenn die Winkelhalbierende nach unten geht, gibt es einen weiteren Punkt. Nimm den Radius PB. Trage ihn von D aus ab (Punkt E). Verbinde E mit P und verlängere die Strecke. Zeichne die Mittelsenkrechte, die die horizontale Linie schneidet (Punkt S). Nimm die Strecke OS und trage sie auf der anderen Seite ab (Punkt S'). Verbinde S und S' mit P.

Ellipse Punkte

Gegeben seien die Achsen AB (horizontal) und CD (vertikal), die sich in O halbieren. Nimm die Strecke AO und trage sie von C aus auf der Hauptachse ab, um die Brennpunkte F und F' zu erhalten. Teile die Strecke FO in 8 gleiche Teile (oder eine beliebige Anzahl). Nimm die Strecke B1 (wobei 1 einer der Teilungspunkte auf FO ist) als Radius und zeichne einen Kreisbogen mit Zentrum F. Nimm die Strecke A1 als Radius und zeichne einen Kreisbogen mit Zentrum F'. Die Schnittpunkte der Bögen sind Punkte der Ellipse. Wiederhole dies für alle Teilungspunkte.

Ellipse Affinität

Gegeben seien die Achsen AB und CD, die sich in O halbieren. Zeichne einen Kreis mit Zentrum O und Radius OA (Hauptkreis) und einen Kreis mit Zentrum O und Radius OC (Nebenkreis). Teile den Hauptkreis in 12 gleiche Teile. Verbinde O mit den Teilungspunkten auf dem Hauptkreis. Von diesen Teilungspunkten auf dem Hauptkreis zeichne vertikale Linien. Teile den Nebenkreis ebenfalls in 12 Teile. Von diesen Teilungspunkten auf dem Nebenkreis zeichne horizontale Linien. Die Schnittpunkte der vertikalen Linien vom Hauptkreis und der horizontalen Linien vom Nebenkreis sind Punkte der Ellipse.

Hyperbel Projektive Bündel

Gegeben seien die Asymptoten (oder Achsen?) AB und die Brennpunkte FF' auf der Horizontalen. Von O (Mitte von FF') trage eine Strecke nach links ab und errichte eine Senkrechte. Von A und B errichte Senkrechten. Verbinde die Punkte. Es entstehen 4 Rechtecke. Teile jede Seite in 2 gleiche Teile. Verbinde A mit den Teilungspunkten 1 und 2 (oben und unten) auf der gegenüberliegenden Seite. Verbinde B mit den Teilungspunkten 1 und 2 auf der anderen gegenüberliegenden Seite. Die Schnittpunkte der entsprechenden Verbindungslinien sind Punkte der Hyperbel.

Tangente Ellipse externer Punkt

Um eine Tangente an eine Ellipse von einem externen Punkt P zu konstruieren, gegeben seien die Brennpunkte F und F' und die Hauptachse der Länge 2a. Zeichne einen Kreis mit Zentrum F' und Radius 2a. Zeichne einen Kreis mit Zentrum P und Radius PF. Die Schnittpunkte dieser beiden Kreise (Q1 und Q2) liegen auf der Spiegelung von F über den Tangenten. Die Tangenten sind die Mittelsenkrechten der Strecken FQ1 und FQ2.

Tangente Hyperbel externer Punkt

Um eine Tangente an eine Hyperbel von einem externen Punkt P zu konstruieren, gegeben seien die Brennpunkte F und F' und die reelle Achse der Länge 2a. Zeichne einen Kreis mit Zentrum F' und Radius 2a. Zeichne einen Kreis mit Zentrum P und Radius PF. Die Schnittpunkte dieser beiden Kreise (Q1 und Q2) liegen auf der Spiegelung von F über den Tangenten. Die Tangenten sind die Mittelsenkrechten der Strecken FQ1 und FQ2.

Tangente Parabel externer Punkt

Um eine Tangente an eine Parabel von einem externen Punkt P zu konstruieren: Gegeben sei die Leitlinie (d) und der Brennpunkt F. Gegeben sei ein externer Punkt P. Zeichne einen Kreis mit Zentrum P und Radius PF. Die Schnittpunkte dieses Kreises mit der Leitlinie (d) sind Q1 und Q2. Die Tangenten sind die Mittelsenkrechten der Strecken FQ1 und FQ2.

Tangente Ellipse parallel Linie

Um eine Tangente an eine Ellipse parallel zu einer gegebenen Linie R zu konstruieren: Gegeben seien die Achsen AB und die Brennpunkte FF'. Gegeben sei die Linie R. Zeichne einen Kreis mit Zentrum F' und Radius AB (Länge der Hauptachse). Zeichne eine Linie durch F, die senkrecht zu R ist. Diese Linie schneidet den Kreis in 1 und 2. Die Mittelsenkrechten der Strecken F'1 und F'2 sind die Tangenten T1 und T2. Um die Berührungspunkte T1 und T2 zu finden, verbinde F' mit 1 und 2.

Tangente Hyperbel parallel Linie

Um eine Tangente an eine Hyperbel parallel zu einer gegebenen Linie R zu konstruieren: Gegeben seien die Brennpunkte F und F' und die reelle Achse der Länge 2a. Gegeben sei die Linie R. Zeichne einen Kreis mit Zentrum F' und Radius 2a. Zeichne eine Linie durch F, die senkrecht zu R ist. Diese Linie schneidet den Kreis in 1 und 2. Die Mittelsenkrechten der Strecken F'1 und F'2 sind die Tangenten T1 und T2. Um die Berührungspunkte T1 und T2 zu finden, verbinde F' mit 1 und 2.