Geometrische Konstruktionen von Tangenten und Kreisen

Tangenten und Kreiskonstruktionen

Nehmen Sie die Tangente:

Zwei Kreise

• 1. Externe Tangenten: Zeichnen Sie einen weiteren Kreis konzentrisch zum größeren mit dem Radius R - r. Nehmen Sie an, dass die Verbindung der Zentren die Mittelsenkrechte ist, und ziehen Sie einen Hilfskreis zu den Zentren. Verbinden Sie das Zentrum mit den Schnittpunkten des kleineren Umfangs und erweitern Sie diese bis zu den Punkten, an denen sie die Tangenten schneiden. Diese werden parallel übertragen, um alle Anlaufstellen zu finden.
• 2. Interne Tangenten: Dies funktioniert genauso, nur dass der Kreis den Radius R + r hat und die Parallelen auf der gegenüberliegenden Seite liegen.

Kreis, der durch einen Punkt P geht

Wenn er nach außen verlaufen soll, zeichnen Sie einen konzentrischen Kreis mit dem Radius R + r. Von einem Punkt P mit Radius R aus werden die anderen Zentren geschnitten; dies sind die Lösungen. Wenn er intern liegen soll, führen Sie eine Subtraktion statt einer Addition der Radien durch.

An beiden Seiten eines Winkels

Wir konstruieren die Winkelhalbierende und eine separate Parallele zur Radius-Seite, um das Zentrum zu erhalten.

In einem anderen Kreis an einem Punkt auf diesem

Verbinden Sie die Mitte mit dem Punkt T. Diese Linie wird verlängert, und auf der Erweiterung wird der Radius abgetragen.

Die Verbindung von zwei Kreisen

• 1. Konkav: Zeichnen Sie zwei konzentrische Kreise unter Addition der jeweiligen Radien. Die Schnittpunkte mit den Zentren bilden die Lösung.
• 2. Konvex: Dies funktioniert analog mit konzentrischen Kreisen, jedoch unter Subtraktion der Radien.

An einem Punkt T und durch einen Punkt P

Verbinden Sie das Zentrum mit T und verlängern Sie die Linie. Verbinden Sie T mit P und konstruieren Sie die Mittelsenkrechte; der Schnittpunkt ist das Zentrum.

Die gerade Verbindung von zwei Linien

Erstellen Sie Parallelen im Abstand des Radius; der Schnittpunkt ist das Zentrum.

Verbindung zweier Linien mit Bögen unterschiedlicher Radien

Errichten Sie an den Enden jeder Linie Senkrechte. Diese sollten einen größeren Abstand haben als der zwischen den jeweiligen Enden. Die Verbindung dieser Punkte bildet die Mittelsenkrechte. Das erste Zentrum ist der Punkt, an dem die Mittelsenkrechte auf die äußere Randlage trifft (diejenige, die weiter von den entgegengesetzten Enden der Linie entfernt ist). Das zweite Ende wird die andere Senkrechte sein. Die Verbindung zwischen den Bögen finden wir durch das Verbinden der Zentren und die Erweiterung dieser Linie.

An eine Linie und durch einen Punkt P

Errichten Sie eine Senkrechte in T. Verbinden Sie P und T. Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte; der Schnittpunkt mit der Senkrechten ist das Zentrum.

Tangente an eine Linie durch die Punkte A und B

Verbinden Sie A und B; dies ist die Mittelsenkrechte. Zeichnen Sie einen Hilfskreis durch A und B. Es ergibt sich eine Tangente von C (der Schnittpunkt der Geraden mit der Radikalachse ER). Tragen Sie die Länge der Tangente auf beiden Seiten von C ab, um T1 und T2 zu erhalten. Die Schnittpunkte mit der Mittelsenkrechten sind die Zentren.

Kreistangente an den Seiten eines Winkels durch P

Konstruieren Sie die Mittelsenkrechte und verschieben Sie P dahinter, um P' zu finden. Verbinden Sie diese und fahren Sie fort. Ein Kreis wird auf der Mittelsenkrechten durch P und P' zentriert, und es wird wie zuvor verfahren.

Tangente an eine Gerade und einen Kreis in einem Punkt T

Verbinden Sie den Mittelpunkt mit T und verlängern Sie die Linie. Errichten Sie eine Senkrechte zu T, welche die Linie schneidet. Die Zentren befinden sich auf den Mittelsenkrechten der komplementären Winkel, sodass sie am Schnittpunkt dieser mit der Linie durch T und das Zentrum liegen.

Tangente an einen anderen Kreis durch A und B

Verbinden Sie die Punkte; dies ist die Mittelsenkrechte. Zeichnen Sie einen Hilfskreis, der durch A und B geht und den anderen Kreis schneidet. Die Verbindung der Schnittpunkte ist die Radikalachse (ER) von beiden. Dort, wo die Verlängerung von AB diese schneidet, ergibt sich die Tangente an den Kreis. Verbinden Sie das Zentrum mit T1 und T2. Die Erweiterung, die die Mittelsenkrechte von AB schneidet, ergibt die Zentren.

Kreistangente an zwei andere Kreise in einem Punkt

• 1. Verbinden Sie T mit dem Zentrum und verlängern Sie die Linie. Errichten Sie eine Senkrechte von T aus. Zeichnen Sie einen Kreis, der durch T geht und den anderen schneidet. Finden Sie die Radikalachse (ER). Wo die Radikalachsen einander schneiden, erhalten wir die Tangenten für den zweiten Kreis, und es wird wie zuvor verfahren.
• 2. Addieren oder subtrahieren Sie den Radius des zweiten Kreises von T aus. Verbinden Sie dies mit dem Zentrum des zweiten Kreises und konstruieren Sie die Mittelsenkrechte. Der Schnittpunkt mit der Geraden, die das Zentrum mit T verbindet, ergibt die gesuchten Zentren.