Geometrische Transformationen und Konzepte: Ein Glossar
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Transformation
Eine Transformation bildet einen Vektor x auf einen Vektor x' ab, wobei die Zuordnung eindeutig (eins-zu-eins) ist.
Vektor
Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment, das eine Richtung und eine Größe (Betrag oder Modul) besitzt. Auf Vektoren können verschiedene Operationen angewendet werden.
Kongruenz (Isometrie)
Eine Kongruenz (oder Isometrie) ist eine Transformation, die die Dimensionen einer Figur nicht verändert. Solche Transformationen werden auch als Bewegungen in der Ebene bezeichnet.
Translation (Verschiebung)
Eine Translation (oder Verschiebung) ist eine Bewegung, bei der alle Punkte einer Figur entlang paralleler, gleich langer und gleich gerichteter Strecken verschoben werden. Im Kontext der Geometrie ist eine Translation eine Transformation, die jeden Punkt P auf einen Punkt P' abbildet, sodass der Vektor PP' eine konstante Länge und Ausrichtung beibehält.
Rotation (Drehung)
Eine Rotation (oder Drehung) ist eine Bewegung, bei der eine Figur um einen festen Punkt (Drehzentrum) in der Ebene oder im Raum gedreht wird. Dabei beschreiben alle Punkte der Figur Kreisbögen, deren Mittelpunkt das Drehzentrum ist.
Schraubenbewegung
Eine Schraubenbewegung ist eine Komposition aus einer Translation und einer Rotation. Diese Bewegungen werden nacheinander angewendet und erzeugen eine Bewegung entlang einer Helix um eine Achse.
Achsensymmetrie
Die Achsensymmetrie (oder Spiegelung an einer Achse) ist eine Transformation, bei der jeder Punkt P auf einen Punkt P' abgebildet wird, sodass die Verbindungsstrecke PP' senkrecht zur Symmetrieachse r steht und von dieser halbiert wird.
Punktsymmetrie
Die Punktsymmetrie (oder Spiegelung an einem Punkt) ist eine Transformation, bei der jeder Punkt P auf einen Punkt P' abgebildet wird, sodass der feste Symmetriepunkt O der Mittelpunkt der Strecke PP' ist. Der Abstand von O zu P ist dabei gleich dem Abstand von O zu P'.
Dilatation (Streckung)
Eine Dilatation (oder Streckung) ist eine Transformation in der Ebene, bei der jeder Punkt P auf einen Punkt P' abgebildet wird, der auf dem Strahl OP liegt. Der Abstand von O zu P' ist dabei proportional zum Abstand von O zu P.
Der Goldene Schnitt
Der Goldene Schnitt ist ein besonderer numerischer Wert (ungefähr 1,618...). Er repräsentiert ein ideales Proportionsverhältnis, bei dem sich zwei Größen so zueinander verhalten, wie sich ihre Summe zur größeren der beiden Größen verhält. Mathematisch ausgedrückt: Das Verhältnis der längeren Strecke zum kürzeren ist gleich dem Verhältnis der Gesamtstrecke zur längeren Strecke.