Gravitationsfeld der Erde und Keplersche Gesetze

Das Gravitationsfeld der Erde

Das Gravitationsfeld der Erde ist die Störung, die im Raum in der Umgebung einer Masse auftritt. Die Intensität des Gravitationsfeldes an einem Punkt im Raum ist die Kraft, mit der die Erde die Masseneinheit an diesem Punkt anzieht.

Grundlagen und Definitionen

• Das Gewicht eines Körpers ist die Kraft, mit der die Erde ihn anzieht.
• Die potenzielle Energie einer Masse m an einem Punkt im Gravitationsfeld der Erde ist die Arbeit, die durch das Gravitationsfeld verrichtet wird, um die Masse m von diesem Punkt aus ins Unendliche zu bewegen.
• Das Gravitationspotenzial an einem Punkt im Gravitationsfeld der Erde ist die Arbeit, die durch das Gravitationsfeld verrichtet wird, um die Masseneinheit von diesem Punkt bis ins Unendliche zu bewegen.

Satelliten und Fluchtgeschwindigkeit

• Umlaufzeit (Periode): Die Zeit, die ein Satellit benötigt, um einen vollständigen Orbit zu beschreiben.
• Fluchtgeschwindigkeit: Dies ist die Geschwindigkeit, die ein Körper erreichen muss, um der Anziehungskraft der Erde zu entkommen.
• Mechanische Energie: Bei einem Satelliten in einer Umlaufbahn um die Erde ist dies die Summe aus der kinetischen Energie und der potenziellen Energie.

Die drei Keplerschen Gesetze

Das erste Keplersche Gesetz

1. Gesetz der Planetenbewegung (Kepler): Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei die Sonne in einem der Brennpunkte steht. Wir können ableiten, dass die Bahnen flach sind, basierend auf der Erhaltung des Drehimpulses des Planeten. Gravitationskräfte sind Zentralkräfte; da die Kraftrichtung entlang des Radiusvektors verläuft, ist das Drehmoment dieser Kräfte bezüglich des Mittelpunkts Null und der Drehimpuls eines Planeten bleibt konstant.

Das zweite Keplersche Gesetz

2. Keplersches Gesetz: Die Verbindungslinie zwischen einem Planeten und der Sonne (Fahrstrahl) überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Dieses Gesetz ergibt sich aus der Erhaltung des Betrags des Drehimpulses des Planeten.

Der Betrag des Drehimpulses kann wie folgt ausgedrückt werden: |L| = |r x m·v| = r·m·v·sin(φ) = r·m·v = r·m·(ds/dt). Die Flächengeschwindigkeit in einem kreisförmigen Bereich ist: dA = (r·ds) / 2 = (r·r·dφ) / 2 = (r²·dφ) / 2. Durch Vergleich erhalten wir: |L| = 2m · (dA/dt). Da L konstant ist, ist auch das Verhältnis dA/dt konstant. Dieses Verhältnis wird als Flächengeschwindigkeit bezeichnet und misst die Geschwindigkeit, mit der Flächen überstrichen werden.

Das dritte Keplersche Gesetz

3. Keplersches Gesetz: Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist direkt proportional zur dritten Potenz der mittleren Entfernung des Planeten zur Sonne (T² ∝ a³).

Wir erhalten die Ausdrücke für die Umlaufgeschwindigkeit v und die Umlaufzeit T eines Satelliten: v = √(GM/r) und T = 2πr/v. Um die Beziehung zwischen der Umlaufzeit und dem Radius der Umlaufbahn herzuleiten, setzen wir den Ausdruck für v in die Berechnung von T im Quadrat ein: T² = (4π² · r³) / (GM). Dank dieses Gesetzes können wir die Massen von Planeten bestimmen, die mindestens einen Satelliten haben, dessen Umlaufzeit und Bahnradius bekannt sind.