Grundlagen der Algebra: Polynome, Gleichungen und Systeme

Algebraische Ausdrücke und Polynome

Definitionen

Ein Algebraischer Ausdruck ist eine Kombination aus Zahlen und Buchstaben, verbunden durch die Zeichen der arithmetischen Operationen. Die Buchstaben werden als Variablen bezeichnet.

Monom

Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck, bei dem die einzigen Operationen, die die Variablen betreffen, die Multiplikation und die natürliche Potenzierung sind. Monome, die den gleichen buchstäblichen Teil (die gleichen Variablen mit denselben Exponenten) haben, werden als gleichartig bezeichnet.

Polynom

Ein Polynom ist ein algebraischer Ausdruck, der sich aus der Summe oder Differenz von zwei oder mehr Monomen zusammensetzt.

Grad eines Polynoms

Der Grad eines Polynoms ist definiert als der höchste Grad der Monome, aus denen es besteht.

Division von Polynomen

Ein Monom ist durch ein anderes Monom teilbar, wenn der Quotient ein Polynom (ein Monom) ergibt.

Um ein Polynom durch ein Monom zu teilen, teilt man jeden seiner Terme durch das teilende Monom.

Ein Polynom ist durch ein Monom teilbar, wenn der erhaltene Quotient ebenfalls ein Polynom ist.

Ruffini-Regel

Die Ruffini-Regel ist eine Kurzform, um ein Polynom P(x) durch ein Binom der Form (x - a) oder (x + a) zu teilen.

Restsatz (Satz vom Rest)

Der Rest bei der Division eines Polynoms P(x) durch (x - a) stimmt mit dem numerischen Wert des Polynoms für x = a überein, d.h., P(a).

• Wird ein Polynom P(x) durch (x - a) geteilt und der Rest ist 0 (P(a) = 0), so ist die Division präzise.
• In diesem Fall sagt man, dass a eine Wurzel des Polynoms ist.

Wurzeln eines Polynoms

Die möglichen Wurzeln eines Polynoms gehören zu den Teilern seines konstanten Terms (unabhängigen Terms). Die Wurzeln eines Polynoms sind die Werte von "x", für die das Polynom den Wert 0 annimmt.

Identitäten und Gleichungen

Identitäten

Identitäten sind algebraische Ausdrücke, bei denen die Gleichheit für jeden Wert der Variablen gilt.

Gleichungen

Gleichungen sind algebraische Ausdrücke, die Gleichheiten darstellen, die nur für bestimmte Werte der Variablen erfüllt sind. Diese Werte werden als Lösungen bezeichnet.

Haben zwei Gleichungen die gleichen Lösungen, so nennt man sie äquivalent.

Gleichungen 1. Grades (Lineare Gleichungen)

Dies sind Gleichungen, die auf die Form ax = b reduziert werden können (der Exponent der Unbekannten ist 1).

Gleichungen 2. Grades (Quadratische Gleichungen)

Dies sind Gleichungen, die auf die Form ax2 + bx + c = 0 reduziert werden können.

Lösung und Diskriminante

Wenn a, b und c von Null verschieden sind, spricht man von einer vollständigen quadratischen Gleichung, die mithilfe der allgemeinen Lösungsformel gelöst wird.

Der Ausdruck b2 - 4ac wird als Diskriminante (D) der quadratischen Gleichung bezeichnet. Die Diskriminante bestimmt die Anzahl der Lösungen:

• Ist die Diskriminante positiv (D > 0), hat die Gleichung zwei Lösungen.
• Ist die Diskriminante gleich 0 (D = 0), hat die Gleichung eine Lösung (Doppellösung).
• Ist die Diskriminante negativ (D

Wenn einige Koeffizienten (b oder c) gleich 0 sind, ist die Gleichung unvollständig und kann oft durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors x gelöst werden.

Biquadratische Gleichungen

Dies sind Gleichungen, die auf die Form ax4 + bx2 + c = 0 reduziert werden können.

Zur Lösung wird eine Variablensubstitution durchgeführt: Man setzt z = x2, woraus z2 = x4 folgt. Die Gleichung wird zu az2 + bz + c = 0. Diese quadratische Gleichung wird nach "z" gelöst, und anschließend werden die Werte für "x" bestimmt.

Dieses Verfahren ermöglicht auch die Lösung von Gleichungen der Form ax6 + bx3 + c = 0 (durch Substitution z = x3).

Radikale Gleichungen (Wurzelgleichungen)

Dies sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte unter einer Wurzel (Radikal) erscheint.

Lösungsschritte:

1. Isolieren Sie das Radikal auf einer Seite der Gleichung.
2. Potenzieren Sie beide Seiten der Gleichung, um die Wurzel aufzulösen.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung.
4. Wichtig: Überprüfen Sie die gefundenen Lösungen, da durch das Potenzieren Scheinlösungen entstehen können.

Lösung von Gleichungssystemen

Substitutionsverfahren (Ersetzung)

1. Lösen Sie eine Unbekannte in einer der Gleichungen des Systems auf.
2. Setzen Sie den aufgelösten Ausdruck in die andere Gleichung ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung nach der verbleibenden Unbekannten.
4. Setzen Sie den gefundenen Wert in die zuerst aufgelöste Gleichung ein, um den Wert der zweiten Unbekannten zu ermitteln.

Additionsverfahren (Reduktion)

1. Ziel ist es, eine Unbekannte zu eliminieren, indem man die Gleichungen mit bestimmten Zahlen multipliziert, sodass die Koeffizienten dieser Unbekannten entgegengesetzt gleich sind.
2. Addieren Sie die beiden Gleichungen, um die Unbekannte zu eliminieren und die verbleibende Unbekannte zu berechnen.
3. Setzen Sie den bekannten Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um den Wert der anderen Unbekannten zu finden.