Grundlagen und Begriffe der Statistik

Was ist Statistik?

Statistik: Sammlung, Organisation, Zusammenfassung, Interpretation und Kommunikation von Daten.

Deskriptive Statistik

Beschreibt quantitativ eine Menge von Einheiten (Personen, Orten oder Dingen).

Inferenzstatistik

Ermöglicht Rückschlüsse auf eine größere Grundgesamtheit basierend auf einer Stichprobe.

Anwendungsbereiche: Gesundheit, Wirtschaft und Industrie.

Grundlegende Einheiten und Variablen

Einheit (Merkmalsträger)

Eine Einheit ist das Objekt der Untersuchung (z. B. eine Person, ein Ort oder eine Sache).

Variable

Eine Variable ist ein Merkmal, das bei den untersuchten Einheiten variieren kann und Gegenstand der Forschung ist.

Zufallsvariable

Eine Variable, deren Werte von zufälligen Ereignissen abhängen und deren genauer Wert vorab nicht vorhergesagt werden kann. Zufallsvariablen werden oft mit Großbuchstaben (z. B. X, Y, Z) dargestellt.

Kontinuierliche Variable

Eine Variable, die innerhalb eines bestimmten Bereichs jeden beliebigen Wert annehmen kann (z. B. Größe, Gewicht). Sie wird gemessen.

Diskrete Variable

Eine Variable, deren Werte nur bestimmte, zählbare Werte annehmen können, die oft durch Lücken voneinander getrennt sind (z. B. Anzahl der Kinder, Anzahl der Unfälle).

Quantitative Variable

Eine Variable, deren Werte numerische Ergebnisse von Messungen oder Zählungen sind. Beispiele: Größe, Gewicht, Temperatur, Blutdruck, Anzahl der Studienanfänger, Anzahl der Unfälle.

Qualitative Variable

Eine Variable, deren Werte Kategorien sind (z. B. Geschlecht, Farbe, Beruf).

Daten und ihre Darstellung

Häufigkeitsverteilung

Eine Darstellung der Werte oder Kategorien einer Variablen zusammen mit der Anzahl der Einheiten, die in jede Kategorie fallen.

Klassenintervalle

Bei gruppierten Daten werden die Werte in nicht überlappende Intervalle (Klassen) eingeteilt. Jedes Klassenintervall wird durch eine Untergrenze und eine Obergrenze definiert.

Kumulierte Häufigkeitsverteilung

Eine Darstellung der Häufigkeitsverteilung, bei der die Häufigkeiten aufsummiert werden. Sie zeigt, wie viele Werte kleiner oder gleich der Obergrenze eines Klassenintervalls sind.

Relative Häufigkeitsverteilung

Zeigt den Anteil oder Prozentsatz der Werte in den verschiedenen Klassen. Sie gibt Auskunft über die relative Häufigkeit oder den Anteil der Beobachtungen.

Histogramm

Stellt eine Häufigkeitsverteilung oder relative Häufigkeitsverteilung grafisch dar.

Merkmale:

• Auf der horizontalen Achse werden die Werte oder Klassenintervalle der Variablen abgetragen.
• Auf der vertikalen Achse wird die Häufigkeit (oder relative Häufigkeit) abgetragen.
• Jedes Klassenintervall wird durch einen Balken dargestellt.
• Die Breite der Balken entspricht der Breite der Klassenintervalle.
• Die Höhe eines Balkens entspricht der Häufigkeit der Werte im entsprechenden Klassenintervall. Hohe Balken repräsentieren hohe Frequenzen, kurze Balken niedrige Frequenzen.

Häufigkeitspolygon

Eine weitere grafische Darstellung einer Häufigkeitsverteilung.

Es wird konstruiert, indem die Mittelpunkte der Oberseiten der Balken eines Histogramms durch Geraden verbunden werden.

Merkmale:

• Die Endpunkte des Polygons werden in der Regel mit der horizontalen Achse verbunden, und zwar am Mittelpunkt eines imaginären Klassenintervalls links und rechts neben dem Histogramm.
• Die Fläche unter dem Häufigkeitspolygon entspricht der Fläche unter dem entsprechenden Histogramm.

Stichprobenziehung

Einfache Zufallsstichprobe

Ein Verfahren zur Auswahl einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit, das für die Inferenzstatistik verwendet wird.

Formen von Verteilungen

Leptokurtisch

Eine Verteilung, die in der Mitte stark konzentriert ist und "schwere" Enden hat (spitzer als die Normalverteilung).

Mesokurtisch

Eine Verteilung, die die Form einer Normalverteilung hat (mittlere Wölbung).

Platykurtisch

Eine Verteilung, die flacher ist als die Normalverteilung und weniger Konzentration in der Mitte aufweist.

Symmetrische Verteilung (Normalverteilung)

Eine Verteilung ist symmetrisch, wenn die linke und die rechte Hälfte spiegelbildlich sind (z. B. die Normalverteilung).

Rechteckige Verteilung

Eine Verteilung, bei der alle Werte innerhalb eines Bereichs die gleiche Häufigkeit haben.

U-förmige Verteilung

Eine Verteilung, bei der die Werte an den Enden des Bereichs häufiger vorkommen als in der Mitte.

Bimodale Verteilung

Eine Verteilung mit zwei Gipfeln, die auf das Vorhandensein von zwei Untergruppen in den Daten hindeuten kann.

Maße der zentralen Tendenz

Eine einzelne Zahl, die den Mittelpunkt einer Datenreihe beschreibt.

Arithmetischer Mittelwert (Durchschnitt)

Die Summe aller Werte geteilt durch die Anzahl der Werte.

Hinweis: Bei gruppierten Daten wird oft der Mittelpunkt des Klassenintervalls als repräsentativer Wert verwendet.

Median

Der Wert, der eine geordnete Datenreihe in zwei gleich große Hälften teilt.

Modus

Der Wert, der in einer Datenreihe am häufigsten vorkommt.

Streuungsmaße

Spannweite

Die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert in einer Datenreihe.

Varianz

Ein Maß für die Streuung der Daten um den Mittelwert. Sie wird berechnet, indem die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert aufsummiert und durch die Anzahl der Werte minus 1 (bei einer Stichprobe) geteilt werden.

Standardabweichung

Die Quadratwurzel der Varianz. Sie ist ein häufig verwendetes Maß für die Streuung und hat die gleiche Einheit wie die Originaldaten.