Grundlagen der Booleschen Algebra und Logikgatter
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Boolesche Algebra
Logische Addition (SUM)
0 + 0 = 0
1 + 1 = 1
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
Logische Multiplikation
Negation (Komplement)
Ā = 1 (wenn A=0)
Ā = 0 (wenn A=1)
Beispiel mit anderen Zeichen:
De Morgans Theorem
Beispiel:
Gemeinsamer Faktor
Übungen zur Booleschen Algebra:
Logikgatter
NICHT-Gatter (NOT-Gate) oder Inverter
Dies ist eine Operation, die nur eine Eingangsgröße und eine Ausgangsgröße verarbeitet. Die Ausgabe ist der entgegengesetzte oder inverse Zustand des Eingangs.
Wahrheitstabelle des NICHT-Gatters (NOT)
Eingangswert | Ausgangswert |
0 | 1 |
1 | 0 |
ODER-Gatter (OR-Gate) oder Addierer
Wenn die verschiedenen Variablen mit der logischen ODER-Funktion verknüpft sind, wird das Ergebnis der hohe Zustand (WAHR oder 1) sein, wenn mindestens eine von ihnen diesen Zustand aufweist. Die Gleichung für die ODER-Funktion von zwei Eingabevariablen lautet:
X = A + B
Wahrheitstabelle des ODER-Gatters
Eingang A | Eingang B | Ausgang |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
NOR-Gatter oder invertierender Addierer
Dieses Gatter stellt die Umkehrung des ODER-Gatters dar, d. h. die Negation der logischen Summe der Eingangsgrößen. Sein Verhalten entspricht einem ODER-Gatter, gefolgt von einem NICHT-Gatter.
Wahrheitstabelle des NOR-Gatters
Eingang A | Eingang B | Ausgang |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 |
UND-Gatter (AND-Gate) oder Multiplizierer
Wenn mehrere binäre logische Variablen mit der logischen UND-Verknüpfung kombiniert werden, erzeugen sie eine Ausgangsgröße, die nur dann den logischen Zustand 1 (HOCH oder WAHR) annimmt, wenn alle Eingänge diesen Zustand aufweisen. Die Formel für die UND-Funktion mit zwei Eingabevariablen lautet: X = A · B.
Wahrheitstabelle des UND-Gatters
Eingang A | Eingang B | Ausgang |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
NAND-Gatter oder invertierender Multiplizierer
Das NAND-Gatter erzeugt die inverse Funktion (Negation) des logischen Produkts der Eingangsgrößen. Es wirkt als ein UND-Gatter, gefolgt von einem NICHT-Gatter.
Wahrheitstabelle des NAND-Gatters
Eingang A | Eingang B | Ausgang |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
Exklusiv-ODER-Gatter (XOR-Gate)
Die Ausgabe dieses Gatters ist 1 (HOCH oder WAHR), wenn genau einer der Eingänge 1 ist. Die Kombination, bei der beide Eingänge 1 sind, ist ausgeschlossen. Die Exklusiv-ODER-Funktion verfügt über ein eigenes grafisches Symbol und kann durch ergänzende UND- und ODER-Operationen ausgedrückt werden.
Wahrheitstabelle des Exklusiv-ODER-Gatters (XOR)
Eingang A | Eingang B | Ausgang |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
Exklusiv-NOR-Gatter (XNOR-Gate)
Wahrheitstabelle des Exklusiv-NOR-Gatters (XNOR)
Eingang A | Eingang B | Ausgang |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Übungen zu Logikgattern:
Stellen Sie nur mit NAND-Gattern dar: NICHT, ODER, NOR und UND.
ODER NICHT
UND NOCH
Stellen Sie nur mit NOR-Gattern dar: NICHT, ODER, NAND und UND.
ODER NICHT
NAND und UND
Implementierung des XOR-Gatters nur mit NAND.
Implementieren Sie das XOR-Gatter nur mit NOR.
Implementieren Sie das XNOR-Gatter nur mit NAND.
Implementierung des XNOR-Gatters nur mit NOR.
Bereitstellen und Implementieren von W + Y + W mit NAND und NOR.
Implementierung von ĀB + AB̄ mit UND.
Implementierung von ĀB + AB̄ mit NOR.
Übungsblatt 1: Schaltungsvereinfachung
Holen Sie sich das vereinfachte Ausgangssignal. Implementieren Sie die Schaltungen sowohl unvereinfacht als auch vereinfacht.
Schema 1
Implementierung mit NAND / Implementierung mit NOR
Gatter mit möglichst geringem Aufwand umgesetzt.
Schema 2
Implementierung mit NAND / Implementierung mit NOR
Gatter mit möglichst geringem Aufwand umgesetzt.
Schema 3
Implementierung mit NAND / Implementierung mit NOR
Schema 4
Implementierung nur mit NAND / Implementierung nur mit NOR
Gatter mit möglichst geringem Aufwand umgesetzt.
Schema 5
Implementierung mit NAND / Implementierung mit NOR
Schema 6
Implementierung mit NAND / Implementierung mit NOR
Schema 7
Implementierung mit NAND / Implementierung mit NOR
Zusätzliche Bezeichnungen
XOR-Gatter
A
B
XNOR-Gatter
MASSE (0)
BATTERIE (1)
LUFT (1)
A + B
A + B
AB
A + B
YX
Eingang / INPUT
Ausgang / OUTPUT