Grundlagen der Digitalen Signalverarbeitung: Komplexe Zahlen, Transformationen & Filterdesign

Komplexe Zahlen

Gegeben

Polarform

Systeme in der Signalverarbeitung

Sampler (Abtaster)

Zeitbereich

Die Abtastung erfolgt gleichmäßig mit Probenentnahme alle T Sekunden.

Frequenzbereich

Im Frequenzbereich wird die Wirkung der Abtastung ausführlich dargestellt, insbesondere die Frequenz .

Dezimierer

Zeitbereich

Dabei wird jede M-te Probe entfernt.

Frequenzbereich

Die Amplitudenskala und die Frequenz werden mit M multipliziert (erweitert). Die Phase wird durch M geteilt.

Die Abtastung sollte gemäß folgender Bedingung erfolgen:

Null-Einfüger (Interpolator)

Zeitbereich

Es werden L-1 Nullen zwischen den Proben eingefügt.

Frequenzbereich

Die Frequenz wird um einen Faktor L geteilt (komprimiert); die Amplitude bleibt unverändert. Die Phase wird mit L multipliziert.

Verzögerung (Retardation)

Zeitbereich

Das Signal wird verzögert.

Frequenzbereich

Die Frequenz bleibt unverändert, die Phase wird verschoben

.

Verhältnisse und Beziehungen

Berechnung der Steigung einer Linie

Geometrische Reihe

Die Darstellung ist

. Ihre Summe ist:

Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Definition

Inverse DFT

FFT mit Dezimierung im Zeitbereich

Die Abtastwerte werden in gerade und ungerade Paare aufgeteilt

. Die geraden Abtastwerte werden einer DFT von

Punkten zugeführt, und dasselbe wird mit den ungeraden Abtastwerten gemacht. Der Ausgang der DFT der ungeraden Abtastwerte wird mit

multipliziert und zu den Ergebnissen der geraden Abtastwerte addiert. Die DFT von

Punkten kann wiederum auf die gleiche Weise rekursiv bis zu einer Zwei-Punkt-DFT zerlegt werden, was zu folgendem führt:

Z-Transformation

• Nullstellen: Die Wurzeln des Zählers
• Pole: Die Wurzeln des Nenners

Definition

Übertragungsfunktion im Z-Bereich

Inverse Z-Transformation

Gegeben ist

.

Wenn der Grad des Zählers größer oder gleich dem des Nenners ist:

• Man führt die Polynomdivision

  durch, die von der Form

  sein wird.

• Das Ergebnis ist:

Andernfalls:

• 

  wird in Partialbrüche der Form

  zerlegt, wobei

  .

• Es wird neu berechnet:

• Berechnen Sie die inverse Z-Transformation jedes Terms:

Eigenschaften von Systemen

Entwurf digitaler Filter

• Darstellung der Dämpfung (dB) und logarithmische Skala (Verstärkung, G = -A in dB; im linearen Maßstab g = 1/a) sowie analoge Spezifikationen |H(Ω)| (nach Berechnung von Ω_P und Ω_A).

• Ermittlung der analogen Spezifikationen ( ). Dies kann mit zwei Methoden erfolgen:

• Impulsinvarianz:

,

der Einfachheit halber

• Bilineare Transformation:

der Einfachheit halber

Wenn die Alphas den gleichen Wert haben, ist keine Transformation erforderlich.

• Berechnung der Ordnung (N):

Überprüfen Sie N = 2; falls nicht, notieren Sie die Berechnungen.

• Berechnung der Frequenz:

• Zum Entwurf des analogen Butterworth-Filters verwenden wir:

Verwenden Sie nur stabile s_k, die in der linken Halbebene liegen. Wir erhalten die s_k und setzen sie in die Gleichung H(s) ein. Berechnen Sie, bis H(s) nur noch von s abhängt und alle anderen Variablen numerisch sind.

• Lösung der Frequenztransformation:
• Impulsinvarianz-Methode:

  • Wenn

    :

• Andernfalls:

  • • Reduzieren Sie H(s) auf Partialbrüche der Form

      

    • Berechnen Sie:

• Bilineare Transformationsmethode:

  • 

Wir überprüfen (durch Berechnung von H(z)), ob der Filter normiert ist, d.h., ob der Koeffizient der höchsten Potenz von z im Nenner eins ist. Falls nicht, dividieren Sie alle Koeffizienten durch diesen Wert, um den Filter zu normieren.

• Sobald wir H(z) haben, erstellen wir das Blockdiagramm in kanonischer Form, basierend auf der Differenzengleichung (die Differenzengleichung ist für den Zeitbereich).

Der Grad von z entspricht der Anzahl der Verzögerungen.